微专题01 四边形的折叠问题通关专练（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 微专题01 四边形的折叠问题通关专练 一、单选题 1．（2022·浙江舟山·校联考模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE， ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AG＝2GD，则DE的值为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】过点E作EH⊥FG，交FG于点H．由翻折的性质得出AF＝AD＝9，DE＝EF．根据题意即可求出GD＝3，从而可求出AG．再根据勾股定理即可求出的长．又易证四边形GHED为矩形，即可得出GH＝DE，HE＝GD＝3．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，最后根据勾股定理即可列出关于x的等式，解出x，即得出的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H， 由翻折可知AF＝AD＝9，DE＝EF． ∵AD＝9，AG＝2GD， ∴GD＝3． ∴AG＝AD-DG＝9-3＝6． ∵FG⊥AD， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°． ∵FG⊥AD，EH⊥FG， ∴四边形GHED为矩形． ∴GH＝DE，HE＝GD＝3． 设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x， ∵在Rt△HEF中，， ∴． 解得：． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 2．（2023下·山东威海·八年级统考期中）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=，．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（ ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】和对折，两三角形全等，和对折，两三角形也全等，根据含30°角的直角三角形的性质，勾股定理可证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵和对折， ∴， ∴， ∵， ∴ 又即 ∴（负值舍去），， ∵， ∴ 又， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 3．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）长方形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的点M处，分别延长BC，EF交于点N．下列四个结论：①DF＝CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF＝3S△DEF，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质判断选项①，根据角平分线性质的延伸，通过角的性质证明选项③，然后结合题意通过假设法证明选项②，综合选项①的结论证明选项④即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF． 由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF． ∴DF=CF；故①正确． ∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC． ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN， ∴∠BFE=∠BFN． ∵∠BFE+∠BFN=180°， ∴∠BFE=90°． 即BF⊥EN，故③正确． 在△DEF和△CNF中， ， ∴△DEF≌△CNF（ASA）． ∴EF=FN． ∴BE=BN． 假设△BEN是等边三角形，则∠EBN=60°，∠EBA=30°， 则AE=BE， 又∵AE=AD，则AD=BC=BE， 而明显BE=BN＞BC， ∴△BEN不是等边三角形；故②错误． ∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM． ∴BE=3EM． ∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF； 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的翻折问题，理解图形翻折的性质，掌握矩形的基本性质是解题关键． 4．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，若CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则GF为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD＝AF，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°， ... ...