中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 正比例函数与一次函数 考点类型 知识一遍过 （一）正比例函数定义 一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。 （二）一次函数定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 （三）求函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。 待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设函数解析式②将已知条件带入到解析式中 ③解方程 ④将求出的数值代入到解析式中 考点一遍过 考点1：正比例函数的定义 典例1：（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ） A．正方形的周长C和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y D．正方体的体积V和棱长m 【答案】A 【分析】根据正比例函数定义即可得答案． 【详解】A．根据正方形的周长公式可得，这是一个正比例函数； B．根据速度路程时间可得，这是一个反比例函数； C．根据剩下的长度总长减去的长度可得，这是一个一次函数； D．根据正方体的体积公式，可得，是一个三次函数，不是正比例函数． 故选：A． 【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键． 【变式1】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ） A．圆的面积S与它的半径r B．正方形的周长C与它的边长a C．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h D．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v 【答案】B 【分析】利用正比例函数的定义计算． 【详解】解∶ A、圆的面积S=，不是正比例函数，故本选项错误； B、正方形的周长C=4a，是正比例函数，故本选项正确； C、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系，不是正比例函数，故本选项错误； D、设路程为s，则依题意得s=vt，即，则v与t不是正比例关系,故本选项错误． 故选∶B． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx ( k为常数，且k≠0)的函数，我们称y就叫做x的正比例函数，熟记圆的面积公式、正方形的周长公式、三角形的面积公式以及路程、时间及速度间的关系是解题的关键． 【变式2】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，，m+1＜0，验证判断即可． 【详解】∵函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限， ∴，m+1＜0， ∴m=2或m=-2，且m＜-1， ∴m=2不符合题意，舍去， ∴m=-2， 故选A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数ｋ的关系是解题的关键． 【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（ ） A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3 【答案】D 【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义解答. 【详解】解：∵y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数， ∴k2﹣9＝0，且k﹣3≠0， 解得：k＝﹣3， 故选：D. 【点睛】此题考查正比例函数的定义：形如的函数是正比例函数，熟记定义是解题的关键. 考点2：识别一次函数 典例2：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义：形如是常数的函数，叫做一次函数，解答即可． 【详解】①，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意； ②，④，是 ... ...
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