中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 勾股定理与逆定理 考点类型 知识一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a2=c2- b2 ②b2=c2- a2 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 考点一遍过 考点1：勾股定理求线段 典例1：（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（ ） A． B． C． D．5 【变式1】（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，则的长是（ ） A．5 B．9 C．13 D．17 【变式2】（安徽省淮北市五校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，，点B在第一象限，，若，，则四边形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（ ） A． B． C． D． 考点2：勾股定理———网格问题 典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（ ） A．4.5 B． C． D． 【变式2】（2023上·山东临沂·八年级统考阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个； ①的形状是等腰三角形； ②的周长是； ③点C到边的距离是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点3：勾股定理———折叠问题 典例3：（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ） A． B．3 C． D． 【变式1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ） A．2 B． C． D．1 【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知 ... ...
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