中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 勾股定理的应用 考点类型 考点一遍过 考点1：勾股定理应用———梯子问题 典例1：（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离． 【详解】解：由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 即梯子顶端下落了米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长． 【变式1】（2023下·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵ ，， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2022上·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ） A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m 【答案】C 【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案． 【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米， ∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米， 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+0.72＝6.25， ∴BD2＝5.76， ∵BD＞0， ∴BD＝2.4米， ∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A．2m B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， ， ∴， 在中， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 考点2：勾股定理应用———树枝折断问题 典例2：（2023上·天津和平·九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由竹子的原长及折断处离地面的高度，可得出折断处到竹梢触地面处的长度为尺，再利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原高丈(丈尺)，且折断处离地面的高度为尺， ∴折断处到竹梢触地面处的长度为尺． 根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的 ... ...
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