19．4 综合与实践 多边形的镶嵌 知识梳理 用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无__缝隙__，又不__重叠__地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌． 平面镶嵌可以由单一的图形完成，也可以由几种图形组合完成，并非所有的图形都可以用于平面镶嵌． 重难突破 重难点 平面镶嵌的运用 【典例】综合实践： 在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题． (1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由． 解：(1)如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°即可， 360°÷120°＝3， 即正六边形能镶嵌成一个平面图形； (2)设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角， 那么m，n应是方程90°m＋135°n＝360°的正整数解． 即2m＋3n＝8的正整数解， 有m＝1，n＝2， ∴同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形． 用多个平面图形围绕某个点P进行镶嵌时，所有以P为顶点的角的和等于360°. 【对点训练】 1．用一批相同的各边相等、各内角也相等的多边形地砖铺地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这种多边形的边数有哪几种可能？ 若是正三角形地砖，正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面； 若是正四角形地砖，正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面； 若是正六角形地砖，正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面； 故这种多边形的边数有3，4，6. 2．以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推…… … (1)第5个图案中正方形有__5__个，等边三角形有__16__个； (2)第n个图案中正方形有__n__个，等边三角形有__(3n＋1)__个； (3)若此类图案中有2 026个等边三角形，该图案中正方形有多少个？ (1)观察第1和2个图案可知图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个， ∴第5个图案中正方形有5个，等边三角形有4＋3＋3＋3＋3＝16(个). (2)第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4(个)， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有4＋3＝7(个)， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有4＋2×3＝10(个)， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有4＋3×3＝13(个)， 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个． (3)∵3n＋1＝2 026，解得n＝675， ∴按此规律镶嵌图案，该图案中正方形有675个． 课堂10分钟 1．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状可能是( B ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形 2．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是( D ) A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8 C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6 3．如图是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边数是__12__． ∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，∴∠ABC＝360°－－90°＝150°，∴这块正多边形地砖的边数是(n－2)×180°＝n×150°，解得n＝12. 4．某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数 ... ...
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