17.4　一元二次方程的根与系数的关系 同步学案（含答案）

*17.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __，这个关系通常称为__ __． 关于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系中，需要注意方程两个根的和或积的符号问题，莫因为符号出现错误． 重难突破 重难点　一元二次方程的根与系数的关系的运用 【典例】关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x＋x＝x1x2＋10，求实数m的值． 利用一元二次方程两根关系得出的结果必须满足Δ≥0的条件． 【对点训练】 1．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0. (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根． 2．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－2)2＋(x2－2)2＋m2＝23，求m的值． 课堂10分钟 1．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1 x2＝ D．x1x2＝7 2．已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则＋ 的值是(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 3．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为(　　) A．－3 B．－1 C．－2 D．0 4．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－m＝0的一个根是－，则方程的另一个根是(　　) A． B．－ C．1 D．－1 5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，则m的值为__ __． 6．已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－1)x＋m＝0有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为α，β，且α2＋β 2＝7，求m的值．*17.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝__－__，x1x2＝____，这个关系通常称为__韦达定理__． 关于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系中，需要注意方程两个根的和或积的符号问题，莫因为符号出现错误． 重难突破 重难点　一元二次方程的根与系数的关系的运用 【典例】关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x＋x＝x1x2＋10，求实数m的值． 解：(1)由题意，有Δ＝(2m－1)2－4(m2＋1)≥0， 解得m≤－， 所以实数m的取值范围是m≤－； (2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m－1，x1·x2＝m2＋1. ∵x＋x＝x1x2＋10， ∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝x1x2＋10， ∴(2m－1)2－3(m2＋1)＝10， ∴2m2＋9m－5＝0，解得m1＝6，m2＝－2. ∵m≤－，∴m＝6舍去，∴m＝－2. 利用一元二次方程两根关系得出的结果必须满足Δ≥0的条件． 【对点训练】 1．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0. (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根． (1)由题意，得Δ≥0，∴16－8k≥0，∴k≤2； (2)由题意，k＝2，方程x2－4x＋2k＝0的根，x1＝x2＝2， ∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2， ∴4－4m＋3m－1＝0，∴m＝3， 方程为x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4， ∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一个根为4. 2．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－2)2＋(x2－2)2＋m2＝23，求m的值． (1)∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个实数根， ∴Δ≥0，即(－4 ... ...