【压轴培优】 三角形中位线的综合 原卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 【压轴培优】 三角形中位线的综合 【典例1】中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． （1）请你根据上边分析，完成证明过程． （2）如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． （3）如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【思路点拨】 （1）取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； （2）延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； （3）延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【解题过程】 （1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A．1 B．1 C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，等边中，点分别为的延长线上，且，为的中点，为中点，，，则的长（ ） A．1.5 B． C．2.5 D． 6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则 ． 8．（2025·山西朔州·一模）已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在中，，，射线是的角平分线，交于点，过点向射线作垂线，垂足为点，作边上的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点，连接，若长为，则的长为 ． 12．（23-24八年级下·陕 ... ...