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课件网) 5.3.2 课时2 等比数列的前n项和的性质与应用 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.解决实际生活中的等比数列的问题. na1 问题1：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？ 则Sn是关于n的指数型函数，其中指数式的系数与常数互为相反数． 问题2：若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？若成等比数列，则其公比是什么？ 当时，， ， ， 所以 ， ， 成等比数列，公比为1. 因为为常数，所以 ， ， 成等比数列，公比为 . 问题3:你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n ＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 等比数列前n项和的性质： 1.等比数列的公比，前项和为， 则， ， 成等比数列，公比为. 注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立. 2.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm. 例1 在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 解：∵S2n=60≠0，∴数列{an}的公比q≠-1. ∵数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n). 又Sn=48，S2n=60， ∴(60-48)2=48(S3n-60)， 解得S3n=63. 例2 已知等比数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n). 例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( ) A.96 B.126 C.192 D.252 C 解：由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378， 解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 故选C. 1.(多选)下列结论不正确的是( ) A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列 B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列 D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn BC 2.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是( ) A.1 B.0 C.2 D.－1 3.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 4.设等比数列{an}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=81，则数列{an}的公比为 . D B 3 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为 . 3 根据今天所学，说说等比数列的前n项和的性质. ... ...
