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课件网) 第四章 因式分解 4.3.1公式法（1） 北师大版 数学 八年级 下册 学习目标 1.利用平方差公式的逆向变形对多项式进行因式分解，培养学生的逆向思维能力. 2.掌握平方差逆向公式的特点，结合提公因式法对复杂多项式进行因式分解. 情景导入 1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 2.因式分解与整式乘法的关系： 是互为相反的变形（互逆的） 情景导入 3.提公因式法： 定系数：各项系数的最大公约数； 定字母：各项都含有的字母； 定多项式：各项都含有的多项式（看成整体）； 定指数：相同字母或多项式的最小指数. 核心知识点一： 用平方差公式进行因式分解 问题1：观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？ 因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式． 探索新知 问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流． 多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)． 探索新知 平方差公式反过来就是说： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 a - b = (a+b)(a-b) 因式分解 平方差公式： (a+b)(a-b) = a - b 整式乘法 运用这个公式可以把平方差形式的多项式分解因式. 探索新知 归纳总结 （1）公式左边： （是一个将要被分解因式的多项式） 被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。 (2) 公式右边: （是分解因式的结果） 分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - ▲ ▲ ▲ 探索新知 例1：利用平方差公式分解因式： （1）16m2–9n2 （2）16–x2y2 （3）25a2– （4） –9+x2 解:(1)原式= (4m)2 - ) )( ( 3n 4m - + = (3n)2 3n 4m (2)原式= 42 - ) )( ( xy 4 - + = (xy)2 xy 4 (3)原式= (5a)2 - ) )( ( b 5a - + = ( b )2 b 5a 法1：互换位置 原式=x2-9 =(x+3)(x-3) 法2：提取负号 原式= -(9-x2) = - (3+x)(3-x) 推荐 探索新知 例2：把下列各式分解因式 （1） （2）-16 归纳小结:1.平方差公式进行因式分解的条件： 系数能平方，指数要成双，减号在中央； 2. 要检查结果中的每个因式是否分解彻底. ) )( ( 9 y2 - + = 9 y2 y2 解:(1)原式= ( )2 - ( )2 92 ) )( ( 9 y2 - + = y2 32 ) )( ( 9 y2 + + = y 3 ) ( - y 3 ) ( 9y2 + = (2)原式= - 16x4 81y4 (3y-2x) (3y+2x) y2 =(9 )2 -(4 )2 x2 4x2 ) ( 9y2 - 4x2 ) ( 9y2 + = 4x2 交换位置 探索新知 (x+q) (x+p) 想一想：多项式 (x+p) 2 - (x+q) 2能用平方差公式分解因式吗？ 对比公式： a2 - b2 =（a+b）(a-b) =（x+p+x+q)×(x+p-x-q） =（2x+p+q)(p-q） 解：原式=[( )+( )]×[( )-( )] 整体思想 x+q x+p x+q x+p 探索新知 例3：把下列各式分解因式 （1） 9(x–y）2–（x+y）2 （2） 归纳小结：1.公式中的a、b可以代表多项式，此时我们将多项式看成整体套用公式，改写平方形式时不要漏掉系数； 2.注意分解彻底. 解:原式=[3(x-y)] 2-(x+y) 2 =[3(x-y)+(x+y)][3(x-y)-(x+y)] =(3x-3y+x+y)(3x-3y-x-y) =(4x-2y)(2x-4y) =2(2x-y)×2(x-2y) =4(2x-y)(x-2y) 原式=(a-b) 2-[4(a+b)] 2 =[(a-b)+4(a+b)][(a-b)-4(a+b)] =(a-b +4a+4b) (a-b -4a-4b) =(5a+3b)(-3a-5b) =-(5a+3b)(3a+5b) 探索新知 例4：把下列各式因式分解： （1）2x3–8x （2）3x3y–12xy （3）3 （4）－2(m－n)2+32 解：原式=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2) 解：原式=3xy(x2-4) =3xy(x2-22) =3xy(x+2)(x-2) ... ...
