中小学教育资源及组卷应用平台 中点四边形问题专题提优特训4 题型1 求解中点四边形 1.如图,点 D 是△ABC 内一点,点 E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD 的中点. (1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°,求四边形EFGH 的周长. 2.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F 分别是 AD、BC 的中点,G、H 分别是对角线BD、AC 的中点. (1)求证:四边形 EGFH 是菱形; (2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形 EGFH 的面积. 3.如图,点O 是△ABC 内一点,连接OB、OC,并将AB、OB、OC、AC 的中点D、E、F、G 依次连接，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形 DEFG 是平行四边形； (2)若点 M 为EF 的中点,OM=5,∠OBC 和∠OCB 互余,求 DG 的长度. 题型2 确定中点四边形的形状 4.如图(1)，四边形 ABCD 四条边上的中点分别为点E、F、G、H,顺次连接 EF、FG、GH、HE,得到四边形 EFGH. (1)四边形 EFGH 的形状是 ,证明你的结论. (2)如图(2),请连接四边形 ABCD 的对角线AC 与BD,当AC 与BD 满足 条件时，四边形 EFGH 是矩形，证明你的结论. (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形 说明理由. 1.(1)∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)∵BD⊥CD,BD=4,CD=3, 由(1),得四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC. 又AD=6,∴四边形EFGH 的周长=6+5=11. 2.(1)∵在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是AD、BC、BD、AC的中点, ∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG. ∴四边形 EGFH 是菱形. (2)∵在四边形ABCD中,G、F、H 分别是BD、BC、AC 的中点, ∴GF∥DC,HF∥AB. ∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC. ∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°. ∴∠GFH=90°. ∴菱形 EGFH 是正方形. ∵AB=1, ∴正方形 EGFH 的面积 3.(1)∵边AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G, ∴DG∥EF,DG=EF. ∴四边形 DEFG 是平行四边形. (2)∵∠OBC 和∠OCB 互余, ∴∠OBC+∠OCB=90°.∴∠BOC=90°. ∵M为EF 的中点, ∵OM=5,DG=EF,∴DG=EF=2OM=10. 4.(1)平行四边形 理由如下： 如图(1),连接BD. ∵E、H 分别是AB、AD的中点, 同理FG∥BD,FG= BD.∴EH∥FG,EH=FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)AC⊥BD 理由如下: 如图(2),连接AC、BD. ∵点 E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点,∴EH∥BD,HG∥AC. ∵AC⊥BD,∴EH⊥HG. 又四边形 EFGH 是平行四边形， ∴平行四边形 EFGH 是矩形. (3)菱形的中点四边形是矩形.理由如下： 如图(3),连接AC、BD. ∵点E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点,∴EH∥BD,HG∥AC,FG∥BD,EH= BD,FG= BD.∴EH∥FG,EH=FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD. ∵EH∥BD,HG∥AC,∴EH⊥HG. ∴平行四边形 EFGH 是矩形.
