完全平方式 1.定义：形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式. 2.特征：两式都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍. 完全平方公式 1.公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2.文字叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 3.特征：公式的左边是一个二次三项式，右边是一个二项式的平方，当左边的两数的平方和加上这两数积的2倍时，右边就是这两数和的平方的形式(和对应加)；当左边是两数的平方和减去这两数积的2倍时，右边就是这两数差的平方的形式(差对应减)，两公式结构相同，仅一个符号不同. (1)完全平方公式中的字母a，b既可以是单项式，也可以是多项式.(2)利用完全平方公式因式分解时，应先把多项式写成具有公式特征后，再套用公式予以分解. 运用完全平方公式进行因式分解 判断一个多项式是不是完全平方式，要紧扣完全平方式的特点：(1)是一个三项式；(2)三项中有两项是两数的平方，另一项是这两个数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数).如果一个多项式是完全平方式，就可以利用完全平方公式因式分解.用完全平方公式因式分解时，除注意检查多项式是否符合上面所说的特点外，还应特别注意符号的特点. 用完全平方公式进行因式分解 典例1 [2023·无锡]分解因式：4＋4m＋m2＝(2＋m)2. 直接利用完全平方公式即可求解. 变式 因式分解： (1)－x3＋2x2y－xy2； (2)(a2＋1)2－4a2； (3)(x－y)2－6(x－y)＋9； (4)(x2－1)2－6(x2－1)＋9. 解：(1)原式＝－x(x2－2xy＋y2) ＝－x(x－y)2； (2)原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a) ＝(a＋1)2(a－1)2； (3)原式＝(x－y－3)2； (4)原式＝(x2－1－3)2 ＝(x2－4)2 ＝(x＋2)2(x－2)2. 完全平方公式因式分解的应用 典例2 已知a＝2 021x＋2 021，b＝2 021x＋2 022，c＝2 021x＋2 023，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 首先求出a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，然后把多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac化成[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]，再代入计算即可. 解析：由题意，得a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2， ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac ＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2] ＝×(1＋4＋1) ＝3. 变式 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值： 变式图 (1)a2b＋ab2； (2)a2＋b2＋ab. 解：(1)∵a＋b＝7，ab＝10， ∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝70； (2)a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝72－10＝39. 1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( A ) A.x2－4x＋4 B.x2＋x＋1 C.4x2＋4x－1 D.x2＋2x－1 2.下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( A ) A.1－2xy＋x2y2 B.x2－x＋1 C.a2－a＋ D.a2＋2ab－b2 3.分解因式：a2－6a＋9＝(a－3)2. 4.因式分解：4a2－12ab＋9b2＝(2a－3b)2. 5.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n.(以上长度单位：cm) 第5题图 (1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为_____； (3)若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值. 解：(1)图中一条竖直裁剪线长为(2m＋n)， 一条水平裁剪线长为(m＋2n)， ∴所有裁剪线(虚线部分)长度之和为 2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n)； (2)大长方形的面积由长乘宽可得(m＋2n)(2m＋n)， 由九个小图形之和可得2m2＋5mn＋2n2， ∴2m2＋5mn＋2n2 可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)， 故答案为：(m＋2n)(2m＋n)； (3)由题意，得2m2＋2n2＝58，mn＝10， ∴m2＋n2＝29， ∵(m＋n)2＝m ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
