第一章 1 等腰三角形 学案 2024-2025学年数学北师大版八年级下册（4课时，学生版+答案卷）

全等三角形的判定方法“AAS” 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简述为：AAS. 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等. (1)判定两个三角形全等时，应根据已知条件准确地选择判定方法，如已知两个三角形的两边对应相等时，可考虑选择SSS，SAS，再寻找 第三组对应相等的量；如已知两个三角形的两角对应相等时，可考虑选择ASA，AAS，再寻找 第三组对应相等的量. (2)判定两个三角形全等时，至少有一条边是对应相等的. (3)在证明两条线段或两个角相等时，可以把它们放在两个全等三角形中. 等腰三角形的性质定理及其推论 1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.简述为：等边对等角. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. (1)遇到等腰三角形时，首先要考虑运用其“等边对等角”的性质，其次可以考虑运用其“三线合一”的推论. (2)在△ABC中，AB＝AC，若AD是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三者中的任一个，都可得另外两个. 等腰三角形相关线段的性质 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线也分别相等. 全等三角形的判定与性质 典例1 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝7，CF＝4，则BD的长是( C ) 典例1图 A.5 B.4 C.3 D.2 根据平行线的性质，得∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得AD＝CF，最后根据AB＝7，FC＝4，即可求线段BD的长. 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，能判定△ADE≌△CFE是解此题的关键. 解析：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F. 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(AAS). ∴AD＝CF＝4.∵AB＝7， ∴BD＝AB－AD＝7－4＝3. 变式 [2023春·上海期末]给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的.在下列给定的条件下，再增加一个“AB＝5 cm”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是( A ) A.∠A＝30°，BC＝3 cm B.∠A＝30°，AC＝6 cm C.∠A＝30°，∠C＝50° D.BC＝2 cm，AC＝6 cm 等腰三角形的性质 典例2 [2023·益阳]如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°.求∠2的度数. 典例2图 根据AB∥CD，可得∠DFE＝∠1＝122°，从而得到∠EFG＝58°，再由GE＝GF，可得∠FEG＝∠EFG＝58°，然后根据三角形内角和定理，即可求解. 解：∵AB∥CD，∠1＝122°， ∴∠DFE＝∠1＝122°， ∴∠EFG＝180°－∠DFE＝58°， ∵GE＝GF， ∴∠FEG＝∠EFG＝58°， ∴∠2＝180°－∠FEG－∠EFG＝64°. 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础. 变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC边的中点，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点F，则∠AFC的度数为( C ) 变式图 A.130° B.120° C.110° D.100° 1.[2023秋·海曙区期中]下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是(单位：cm)( B ) A.2，3，4 B.3，7，7 C.2，2，6 D.5，6，7 2.[2024春·济阳区期末]在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于( B ) A.25° B.50° C.65° D.115° 3.[2023秋·上虞区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝110°，则∠B＝70°. 第3题图 4.[2024·十堰期末]如图，在三角形ABC中，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为9 cm2，则△BPC的面积为_cm2. 第4题图 5.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝50°，求∠C的度数. 第5题图 解：∵AB＝AD，∠B＝50°， ∴∠ADB＝∠B＝50°. 又∵AD＝DC， ∴∠C＝∠DAC. ∵∠ADB＝∠C＋∠DAC， ∴∠C＝∠ADB＝25°.等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是 .简述为： . 反证法 先假设命题的 ... ...