1.3 线段的垂直平分线 同步练习 （2课时，学生版+答案版）2024-2025学年数学北师大版八年级下册

用尺规作线段的垂直平分线 作法：如图，分别以A，B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，连接M，N，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 三角形三边的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等. 与线段垂直平分线(中垂线)有关的引辅助线的三种方法：(1)有中垂线时，常把中垂线上的点与线段两端点连接，简记为“点中垂，连两端”；(2)有中点时，构造中垂线，简记为“遇中点，构中垂”；(3)有垂直时，构造中垂线，简记为“有垂直，构中垂”. 线段垂直平分线作图的应用 典例1 在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P，Q种植了大量猕猴桃.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在( B ) 典例1图 A.A处 B.B处 C.C处 D.D处 根据线段垂直平分线的性质解决即可. 解析：线段PQ的垂直平分线与公路m的交点所在位置就是基站的位置. 变式 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等. 变式图 解：①连接MN； ②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求. 变式图 三角形三边的垂直平分线 典例2 [2023·贵阳模拟]如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在( D ) 典例2图 A.△ABC三条角平分线的交点 B.△ABC三条边的中线的交点 C.△ABC三条高的交点 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答. 解析：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，猫应蹲在到A，B，C三个洞口都相等的地方，则应蹲在△ABC三条边的垂直平分线的交点处.变式 如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是( D ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 典例3 如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于8. 典例3图 解析：∵在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8. 变式 如图，在△ABC中，AB，BC边的中垂线DE，FG，分别交AC边于点E，G，连接BE，BG.若△BEG的周长为16，GE＝1，则AC的长为14. 变式图 1.在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( C ) A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中垂线的交点 D.三边上高的交点 2.[2024春·平阴县期末]如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点.若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP是( C ) 第2题图 A.24° B.30° C.32° D.36° 3.[2024秋·达州期中]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE＝2，△ABD的周长为11，则△ABC的周长为15. 第3题图线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. (1)如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上一点，则PA＝PB. (2)线段垂直平分线的性质定理常用来证明线段或角相等. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. (1)如图，∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. (2)证明一条直线是某条线段的垂直平分线，需证明这条直线上的两个点到线段两个端点的距离相等. ... ...