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课件网) 11.4.1 课时2 直线与平面垂直的性质定理及应用 1.掌握线面垂直的性质定理，并能应用.（重点） 2.掌握直线与平面所成角的定义.（重点） 3.理解三垂线定理并能灵活应用. 4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题.（难点） 问题1：如果直线垂直于一个平面，直与直线平行，那么直线与平面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由. 问题引入 （一）直线与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)图形语言： (3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α. 性质1 如何证明这个结论 问题2： 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由. (1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. (2)图形语言： (3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m. 性质2 如何证明这个结论 1．思考辨析 (1)垂直于同一条直线的两直线平行．( ) (2)垂直于同一条直线的两直线垂直．( ) (3)垂直于同一个平面的两直线平行．( ) (4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．( ) 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则( ) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面 D．B1B与l相交 答案：B 因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B． × × × √ 试一试 例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC． 求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点． 证明 (1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴AD1⊥A1D． 又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1， ∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC． 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. 例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC． 求证：(2)M是AB的中点． 1. 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1, 且EF⊥平面ABCD. 求证:EF∥AA1. 证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A, AB 平面ABCD,AD 平面ABCD, ∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1. 练一练 （二）直线与平面所成的角 斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成. (1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗 不同. (2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗 能. (3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗 能. 相交 垂直 直线PA 交点 点A 斜足 直线AO 垂线 垂足 归纳总结 直角 练一练 2. 3.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 . 答案:45° 练一练 4.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 练一练 证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO, 所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 因为PA=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO. 所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心. 因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a, 所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a, 所以PO=a. 所以点P到平面ABC的距离为a. 利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所 ... ...
