第五章 5.5.2简单的三角恒等变换--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共26张PPT)

5.5.2 简单的三角恒等变换 第五章 三角函数 数学 学习目标 ①能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用. ②了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 学习重难点 重点： 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用. 难点： 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 课堂导入 情境 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 【和角公式】S(α+β)，C(α+β)，T(α+β) 【差角公式】 S(α?β)，C(α?β)，T(α?β) 【二倍角公式】 S(2α)，C(2α)，T(2α) 探究一　半角公式 例1　试以cos α表示sin2????2，cos2????2，tan2????2. ? 课堂探究 解 α是????2的二倍角. 在倍角公式cos 2α=1?2sin2α中，以α代替2α，以????2代替α， 得cos α=1?2sin2????2，所以sin2????2=1?cos????2. ① 在倍角公式cos 2α=2cos2α?1中，以α代替2α，以????2代替α，得cos α=2cos2????2?1， 所以cos2????2=1+cos????2. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2????2=1?cos????1+cos????. ? 以上三个公式称为半角公式，符号由????所在象限决定. ? 【问题】 tan????2与 sin????，cos????之间有什么关系? ? 【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角； 加或者减余弦，根号分母都是 2. 课堂探究 由例1的结果，可以得到： sin????2=±1?cos????2 cos????2=±1+cos????2 tan????2=±1?cos????1+cos????， ? tan?????2=sin????1+cos?????=1?cos?????sin???? ? 探究一　半角公式 例2　求证： (1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)]； (2)sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2. ? 课堂探究 证明 (1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α?β)=2sin αcos β，① 即sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)]. ? 探究二　简单的三角恒等变换 例2　求证： (1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α?β)]； (2)sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2. ? 课堂探究 (2)由(1)可得sin(α+β)+sin(α?β)=2sin αcos β. 设α+β=θ，α?β=φ，那么α=????+????2，β=?????????2. 把α，β的值代入①，即得sin θ+sin φ=2sin????+????2cos?????????2. ? 探究二　简单的三角恒等变换 换元法 思考　如果不用(1)的结果，如何证明? 课堂探究 例2的证明用到了换元的方法. 如把α+β看作θ，α?β看作φ， 从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式. 或者，把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程， 则原问题转化为解方程(组)求x. 它们都体现了化归思想. 归纳总结 例3　求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y=sin x+3cos x； (2)y=3sin x+4cos x. ? 课堂探究 分析 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ)， 利用和角公式将其展开，可化为y=asin x+bcos x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+φ)的形式，进而就可以求得其周期和最值了. 探究三　辅助角公式 课堂探究 解 (1)y=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x) ① =2(sin xcosπ3+cos xsinπ3) =2sin(x+π3). 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为?2. ? 你能说说①这一步变形的理由吗? 例3　求下列函数的周期，最大值和最小值 ... ...