第五章 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共33张PPT)

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第五章 三角函数 数学 学习目标 ①了解两角差的余弦公式的推导过程. ②掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式. ③熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. ③会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明等. 学习重难点 重点： 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、 正切公式、二倍角公式. 难点： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式的灵活运用. 课堂导入 问题 已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α?β的正弦、余弦吗? 下面，我们来探究cos(α?β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系. 探究一　两角差的余弦公式 课堂探究 已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗? 不妨令α≠2kπ+β，k∈Z 如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)， 以x轴非负半轴为始边作角α，β，α?β， 它们的终边分别与单位圆相交于点 P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)， P(cos(α?β)，sin(α?β)). 探究一　两角差的余弦公式 课堂探究 已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗? 连接A1P1，AP. 若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合. 根据圆的旋转对称性可知，????????与????1????1重合，从而????????=????1????1，所以AP=A1P1. 根据两点间的距离公式， 得[cos(α?β)?1]2+sin2(α?β)=(cos α?cos β)2+(sin α?sin β)2， 化简得cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β 当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立. ? 探究一　两角差的余弦公式 课堂探究 已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗? 当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角α，β有： cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α?β的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式，简记作C(α?β). 课堂探究 证明 (1)cos(π2?α)=cosπ2cos α+sinπ2sin α=0+1×sin α=sin α. (2)cos(π?α)=cos πcos α+sin πsin α=(?1)×cos α+0=?cos α. ? 例1　利用公式C(α?β)证明： (1)cos(π2?α)=sin α； (2)cos(π?α)=?cos α. ? 课堂探究 解 由sin α=45，α∈(π2，π)， 得cos α=?1?sin2????=?1?(45)?2=?35. 又由cos β=?513，β是第三象限角， 得sin β=?1?cos2????=?1?(?513)?2=?1213. 所以cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β=(?35)×(?513)+45×(?1213)=?3365. ? 例2　已知sin α=45，α∈(π2，π)，cos β=?513，β是第三象限角，求cos(α?β)的值. ? 由公式C(α?β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗? 探究二　两角和的余弦公式 课堂探究 由α+β=α?(?β)和公式C(α?β)，有 于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β) . cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β(C(α+β)) cos(α+β)=cos [α?(?β)] =cos αcos(?β)+sin αsin(?β) =cos αcos β?sin αsin β 两角和的余弦公式 课堂探究 也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和. 两角差的余弦公式： 余余正正 符号相反 cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β (C(α?β)) cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β (C(α+β)) 两角和的余弦公式： 知识归纳 &(2)sin?(????+????)&=cos????2?(????+????)&=cos????2??????????&=cos?????2?????cos?????+sin?????2?????sin?????&=sin????cos?????+cos????sin????? ? ? &(1)sin?(?????????)&=cos????2?(?????????)&=cos????2?????+? ... ...