1.1 等腰三角形复习题--常用作辅助线方法 【题型1 作中线构造三线合一模型】 1.已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 2.如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是( ) A. B. C. D. 3.如图，中，，平分，且求证：． 4.如图，四边形中，，平分，，求证：． 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 1.如图，在中，平分，是上一点，，且． (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 2.如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且． (1)若，垂足为，求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD = 2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 4.在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点． (1)如图，当点为线段上的任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (2)如图，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明； (3)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系． 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 1.如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积为_____． 3.如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为 ． 4.如图，在中，，、为内的两点，平分，，若，，则的长为_____； 如图，，，则的度数为_____． 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 1.如图，是边长为2的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 2.如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于 点D． （1）证明：PD=DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长． 3.在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F． (1)当点D在线段上时，如图所示，求证：． (2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？ 4.【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长． 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 1.如图，点是的中点，点在上，且求证：． 2.如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 3.如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 4.如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则( ) A. B. C. D. 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 1.在中，于点，平分，，，则_____． 2.如图，已知平分的外角，为上一点，． 如图，求证：； 判断的形状并证明； 如图，过点作于点，若，，求线段 ... ...
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