4.5 相似三角形 一、与相似三角形有关的证明与计算 1．（2020安徽中考第8题）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 2．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 4．（2015安徽·中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 5．（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. ①求证:BE=CF; ②求证:BE2=BC·CE. 图1 图2 (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F, 求tan ∠CBF的值. 6．（2024安徽中考第22题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 7.（2023安徽中考第22题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 参考答案与解析 一、与相似三角形有关证明计算 1．（2020安徽中考第8题）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵∠C=90°，∴， ∵，∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵，∴cos∠DBC=cos A=， ∴cos∠DBC==，即=，∴BD=， 故选：C． 2．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【详解】（1）证明：，； ，，， ，，，，， ，，四边形AFCD是平行四边形 ， 在与中，， （2），， 在中，，，， 又，，， 在与中，， ，； ，；，； ，， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ，， 设，，， 则，，， ，； 在与中，， ； ，； ，， ，， ， ， ，， （舍），， ． 3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC 又∠APB=135°， ∴∠PAB+∠PBA=45°， ∴∠PBC=∠PAB， 又∵∠APB=∠BPC=135°， ∴△PAB∽△PBC； （2）∵△PAB∽△PBC， ∴， 在Rt△ABC中，AC=BC， ∴, ∴ ∴PA=2PC； （3） 过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°， ∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°, 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90° ∴∠EAP=∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即，∴ ∵△PAB∽△PBC， ∴ 即. 4．（2015安徽·中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD ... ...
