江苏省连云港市赣榆高级中学经济开发区校区2024-2025学年高一下学期第一次学情监测（3月） 数学试题（含答案）

2024—2025赣榆高级中学经济开发区校区第一次学情监测 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题 1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D． 3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．在菱形中，，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 7．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 10．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A．在上的投影向量为 B． C．的最大值为2 D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为 三、填空题 12．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 13． ． 14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 16．已知函数的最大值为3． (1)若的定义域为，求的单调递增区间； (2)若，，求的值． 17．已知，与的夹角为，为外接圆上一点，与线段交于点． (1)若，求； (2)设. （ⅰ）试用的函数表示； （ⅱ）求的取值范围． 18．如图，在平面四边形中，，，，． (1)若，求的值； (2)若，，求AD的长． 19．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． (1)当时，求四边形的面积； (2)求灯柱的高（用表示）； (3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．数学参考答案（3.22) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．ACD 10．ACD 11．BCD 12． 13． 14． 15．(1) (2） 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 16．(1)单调递增区间为和 (2) 【详解】（1）将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． （2）由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 17．(1)1； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）依题意，，， ， ， 因此 . （2）（ⅰ）由（1）得，，则， 连接，当与不重合时，为直角三角形，则， 则，当与重合时，上式也成立， 所以. （ii）四边形为圆内接四边形，则，， 因此的夹角为，当与都不重合时，在中，由正弦定理得： ，则，当与之一重合时，上式成立，于是， ， 由，得，则， 所以. 18．(1) (2) 【详解】（1）在中由余弦定理， 即，所以， 再由余弦定理， 即，解得. （2）在中由正弦定理可得， 所以， 在中正弦定理可得，所以， 而，故，故， 故， 又，显 ... ...