4.1 正弦和余弦课时1 正弦课件(共19张PPT) 2024-2025学年湘教版初中数学九年级上册

(课件网) 课时1 正弦 4.1 正弦和余弦 1. 感知直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值是一个常数. 2. 能准确理解正弦的含义，掌握正弦的概念. 3. 学会求一个锐角的正弦值的方法并能熟练计算. 北 东 30 A B C 问题1：小李驾驶“开心号”帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行1000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西30 的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？ 1000m 分析：由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90°，∠A= 65°，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？ 北 东 思考：在直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值有什么规律？ 65 A B C 问题2：小李驾驶“开心号”帆船向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65 的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m） 2000m 如图，(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A′=65°，∠C=∠C′=90°. 小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出： 小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm，斜边A′B′=2.2cm，算出： 由此猜测：在有一个锐角为65°的直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于. 这个猜测是真的吗？若把65°换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ ∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ 即 BC·DE=AB·EF. ∴ 这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 你能说说上面的探究结论说明了什么吗？ 解决问题：现在解决第2题中，帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题． 解：在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65 ， 解得 答：C 处和灯塔A的距离等于2200米. 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即 sinα= 角α的对边 斜边 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中不正确的是（ ） A. sinB= B. sinB= C. sinB= D. sinB= C 2. 在△ABC中，∠ABC=90°.若AC=100， sinA=， 则AB的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 D 3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是_____. (1)证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B. 又∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． (2)解∵△ACD∽△CBD， ∴=， ∴CD2＝AD·BD＝2×(6-2)＝8， ∴CD＝2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝2， ∴sinA＝. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． 1.在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个 ，与直角三角形的大小 . 2.在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的 ，记作 .即 常数 sinα 无关 正弦 3.sin30°= . ... ...