第四章 4.3 4.3.1 第1课时 A 组·基础自测 一、选择题 1．已知{an}是等比数列，a2 012＝4，a2 024＝16，则a2 018＝( C ) A．4 B．±4 C．8 D．±8 [答案] C [解析] ∵数列{an}为等比数列，且a2 012＝4，a2 024＝16， ∴a2 018是a2 012，a2 024的等比中项，且是同号的， ∴a2 018＝＝＝8.故选C. 2．数列m，m，m，…一定( C ) A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．是等差数列，但不一定是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列 [答案] C [解析] 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C. 3．(2023·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( A ) A．±4 B．4 C．± D． [答案] A [解析] 由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1， a8＝a1q7＝×27＝16， 设G是a4与a8的等比中项，则G2＝a4·a8＝16，故G＝±4，故选A. 4．设{an}为等比数列，给出下列四个数列：①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}． 其中一定为等比数列的是( D ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①② [答案] D [解析] 设an＝a1qn－1， ①2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列； ②a＝aq2n－2＝a(q2)n－1，所以数列{a}是等比数列； ③＝2an－an－1，因为an－an－1不是一个常数，所以数列{2an}不是等比数列； ④＝不是一个常数， 所以数列{log2|an|}不是等比数列．故选D. 5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C ) A．na(1－b%) B．a(1－nb%) C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n] [答案] C [解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C. 二、填空题 6．等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝_____. [答案] 5 832 [解析] 设公比为q，则q＝＝3， 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10a1＝20， ∴a1＝2.∴a7＋a8＝a1(q6＋q7)＝2(36＋37)＝5 832. 7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是_____. [答案] － [解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－， ∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×7＝－. 8．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝_____. [答案] 3 [解析] 因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列， 所以 解得q＝3.所以{an}的公比q＝3. 三、解答题 9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30. (1)求an； (2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. [解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， ∴4q＋2q2＝30， ∴q2＋2q－15＝0， ∴q＝3或－5. ∵an＞0，∴q＝3. ∴an＝a1qn－1＝2·3n－1. (2)∵b1＝a2，∴b1＝6. 又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1. ∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8， b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14， b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32， b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解析] (1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. B 组·素养提升 一、选择题 1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D ) 1 2 0.5 1 a b c A．1 B．2 C．3 D ... ...
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