第四章 4.3 4.3.1 第2课时 A 组·基础自测 一、选择题 1．等比数列{an}中，a1a2a3＝－8，a5＝16，则公比为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [答案] A [解析] a1a2a3＝－8，a＝－8，a2＝－2，a5＝16，公比为－2. 2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( ) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 [答案] B [解析] 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1. 则＝＝q2，故数列{bn}是公比为q2的等比数列． 3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝( ) A．3 B．2 C．1 D．－2 [答案] B [解析] 曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(1,2)，则b＝1，c＝2.由a，b，c，d成等比数列，知ad＝bc＝1×2＝2，故选B. 4．(多选题)已知数列{an}是等比数列，那么下列结论一定正确的是( ) A．{a}为等比数列 B．{lg an}为等差数列 C.为等差数列 D．{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列 [答案] AD [解析] 设等比数列{an}的公比为q，则＝2＝q2， ∴{a}是等比数列； lg an＋1－lg an＝lg＝lg q，当q<0时，lg q无意义，故B错误； －＝－＝an≠常数，故C错误； 由等比数列的定义知{an＋an＋1＋an＋2}是等比数列． 故选AD. 5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B ) A．210 B．220 C．216 D．215 [答案] B [解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29， C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列， 公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210， ∴C＝B·210＝220. 二、填空题 6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为_____. [答案] 3 [解析] 由题意得a4a14＝(2)2＝8， 由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8， ∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3. 7．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比q＝_____. [答案] ± [解析] 由题知a＝a1a13， 即(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)， ∴a＋6a1d＋9d2＝a＋12a1d， ∴a1＝d， ∴a4＝a1＋3d＝d， ∴q2＝＝3， ∴q＝±. 8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝_____. [答案] 1 [解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则由a4＝a1＋3d， 得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8， ∴q＝－2. ∴＝＝＝1. 三、解答题 9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． [解析] (1)由题意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因为{an}的各项都为正数，所以＝. 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝. 10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20. [解析] 设数列{an}的公差为d，则 a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d， a10＝a4＋6d＝10＋6d. 由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2， 整理得10d2－10d＝0， 解得d＝0，或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7， 因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330. B 组·素养提升 一、选择题 1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A ) A．成等差数列不成等比数列 B．成等比数列不成等差数列 C．成等差数列又成等比数列 D．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 方法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log23， c＝log212＝2＋log23. ∴b－a＝c－b. 方法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2， ∴a＋c＝2b ... ...
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