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课件网) 第四章 数列 4.4* 数学归纳法 素养目标 定方向 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题． 1．了解数学归纳法的原理．(数学抽象、逻辑推理) 2．掌握数学归纳法的步骤．(逻辑推理) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 必备知识 探新知 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝____(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝_____时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． n0 k＋1 想一想：用数学归纳法证明命题的关键是什么？ 提示：步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证． [答案] D [解析] 表达式的左边是从1开始加到a3n＋1结束， 所以验证n＝1成立时等式左边计算所得项是1＋a＋a2＋a3＋a4. 故选D. 关键能力 攻重难 题|型|探|究 题型一 对数学归纳法的理解 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案] D [解析] 在证明n＝k＋1不等式也成立时，没有应用n＝k时的假设，即没有用到归纳递推，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D. [规律方法] 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 对点训练 [答案] C 题型二 用数学归纳法证明等式 [规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． 用数学归纳法证明： 对点训练 题型三 用数学归纳法证明不等式 [分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． [规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练 题型四 数学归纳法在数列中的应用 4.(2023·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项． (1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想． [规律方法] 通过此例可看出观察、归纳、猜想、证明的思想方法的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明． 对点训练 易|错|警|示 ... ...
