第五章 5.3 5.3.1 A 组·基础自测 一、选择题 1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B ) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x [答案] B [解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B. 2．下面的命题中，正确的是( C ) A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数 B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数 C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数 D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数 [答案] C [解析] 排除法，对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D，取y＝x3可验证其错误． 3．函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间为( B ) A．(－∞，5) B．(0,5) C．(5，＋∞) D．(0，＋∞) [答案] B [解析] 易知，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＋，令f ′(x)<0得0
0，反之f(x)为减函数而f ′(x)<0，符合函数的单调性与导数的关系，正确； B. ①为f(x)的图象，②为f ′(x)的图象， f(x)为增函数而f ′(x)>0，符合函数的单调性与导数的关系，正确； C．将下方的图象记为f(x)的图象，上方的图象记为f ′(x)的图象， f(x)为增函数，而f ′(x)≥0，符合函数的单调性与导数的关系，正确； D．无论哪个函数的图象为f ′(x)的图象，都有f ′(x)≤0或f ′(x)≥0恒成立， 即函数f(x)是单调函数，错误． 故选D． 二、填空题 6．(2024·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为_____. [答案] ，(1，＋∞) [解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)． 令f′(x)>0，解得x>1或x<－. 函数f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)． 故答案为，(1，＋∞)． 7．函数f(x)＝x＋2cos x(0≤x≤2π)的单调递减区间为_____. [答案] [解析] ∵函数y＝x＋2cos x，∴y′＝1－2sin x＜0， ∴sin x＞， 又∵x∈[0,2π]， ∴x∈，故答案为. 8．已知函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是_____. (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是_____. [答案] (1)(－∞，3]∪ (2) [解析] (1)由f(x)＝x3－ax2，得 f ′(x)＝3x. 若f(x)在(2,3)上单调，则有f ′(2)＝12－4a≥0或f ′(3)＝27－6a≤0，∴a≤3或a≥. (2)由f(x)＝x3－ax2，得f ′(x)＝3x2－2ax＝3x.若f(x)在(2,3)上不单调，则有可得30，∴x1＝0，x2＝2. 用x1，x2分割定义域D，得下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ? ? ? ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． 10．已知函数f(x)＝ax－－2ln x(a≥0)，若函数f(x)在其定义域上为单调函数，求a的取值范围． ... ... 