第五章 5.3 5.3.3 A 组·基础自测 一、选择题 1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A．8 B． C．－1 D．－8 [答案] C [解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]， 故x＝1时，f′(x)min＝－1. 2．做一个容积为256升的方底无盖水箱，当用料最省时，它的底面边长为( ) A．5分米 B．6分米 C．7分米 D．8分米 [答案] D [解析] 设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时，S′>0，故x＝8时S最小． 3．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f ′(x)的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定 [答案] C [解析] f ′(x)＝(x2＋2x＋a)ex， 若函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值， 则g(x)＝x2＋2x＋a不能恒大于等于0， 故存在x使得g(x)<0， 即g(x)＝x2＋2x＋a有2个不相等的实数根， 即函数y＝f ′(x)的零点个数为2个，故选C． 4．已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] [答案] B [解析] 函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1， 当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝1，所以a≥1.故选B. 5．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为( ) A．R B．R C．R D．R [答案] A [解析] 作轴截面如图所示，设圆柱体高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3. 令V′＝0得2πR2－6πh2＝0， ∴h＝R.即当2h＝R时，圆柱体的体积最大． 二、填空题 6．(2024·江苏省南京市期末)已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为_____. [答案] e [解析] f ′(x)＝，当x>0时，令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)<0，解得07. 8．(2024·桂林高一检测)已知函数f(x)＝ex(ln x－1)，使得f(m)≥－e成立的实数m的取值范围为_____. [答案] [1，＋∞) [解析] f ′(x)＝ex， 令g(x)＝ln x＋－1， 则g′(x)＝－＝， 当01时，g′(x)>0，函数单调递增， 故g(x)≥g(1)＝0，即f ′(x)≥0恒成立， 从而f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－e，故m≥1. 三、解答题 9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)． [解析] 每月生产x吨时的利润为 f(x)＝x－(50 000＋200x) ＝－x3＋24 000x－50 000 (x≥0)． 由f′(x)＝－x2＋24 000＝0， 解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 10．(2024·宁夏银川一中高三月考)已知函数f(x)＝aln x－，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝1，且x≥2时，证明：f(x－1) ... ...
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