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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值 素养目标 定方向 1．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．(直观想象) 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．(数学抽象、逻辑推理) 3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．(逻辑推理、数学建模、数学运算) 必备知识 探新知 函数的最大值与最小值的再认识 1．基于极值概念的再认识 结合函数极值的定义，我们有如下结论： 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在_____ _____处取得． 极值点或区间 端点 想一想：上述结论还有怎样的内涵？ 提示：(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值． 常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值． 练一练：如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( ) A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值 C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值也有最小值 [答案] C [解析] 由函数图象可知，函数只有一个极小值点x＝1，且函数在此处取得最小值，没有最大值． 2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_____； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中___ _____是最大值，_____是最小值． 极值 最 大的一个 最小的一个 想一想：函数的极值与最值有怎样的区别与联系？ 提示：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 练一练：已知函数f(x)＝x3－3x－1，若在区间[－3,2]上，f(x)的最大值为M，最小值为N，则M－N＝( ) A．20 B．18 C．3 D．0 [答案] A [解析] 由f(x)＝x3－3x－1得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x＝±1， 所以x＝1，x＝－1为函数f(x)的极值点． 因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20. 关键能力 攻重难 1.(1)(2023·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) 题|型|探|究 题型一 求函数的最值 (2)(2024·安庆高二检测)已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R. ①求f(x)的单调区间； [答案] (1)C (2)①f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，当－1
