2024-2025学年湖南省部分校高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个几何体由个面围成，则该几何体可能是 A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 2.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则( ) A. B. C. D. 3.若，均是单位向量，且，则( ) A. B. C. D. 4.已知复数，则在复平面内对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 5.把函数的图象向右平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小正值为( ) A. B. C. D. 6.在正四棱台的条棱所在的直线及直线，，中，与直线是异面直线的直线共有( ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则( ) A. B. C. D. 8.在平行四边形中，，，，为线段上靠近的三等分点，线段与相交于点，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. 质量是向量 B. 相等向量的起点不一定相同 C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D. 若某质点受到，，的作用且处于平衡状态，则 10.的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为 A. B. C. D. 11.如图，正方体的棱长为，是的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是 A. 正方体内切球的表面积为 B. 若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 C. 若点是的外心，则 D. 若动点满足，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的值为 ． 13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为，则梯形的高为 ． 14.某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是 取， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数， 若为实数，求 若为虚数，求的取值范围 若为纯虚数，求． 16.本小题分 如图，在平行四边形中，，，． 用，表示，； 若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论． 17.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求 若，，求的面积． 18.本小题分 如图，长方体的长、宽、高分别为，，，且，． 当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积 求三棱锥体积的最大值 记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围． 19.本小题分 设为非空数集，实数满足以下两个条件：，；(ⅱ)对任意给定的，总存在，使得这时，称为集合的上确界． 直接写出集合的上确界． 在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． 求； 求集合的上确界，并证明你的结论． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题意得， 得或． 由题意得， 得且 由题意得 得故． 16.解：由题意得，， 则， ． 是直角三角形． 证明如下：由题意得，， 则， 所以，故是直角三角形． 17.解：由，可得． 因为，所以． 又，且， 所以． 由余弦定理可知 因为，，，所以， 整理得，解得或舍去． 由，可得， 则的面积． 18.解：因为底面为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为． 由图可知 ， 当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为． 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为，则， 所以，， 则． 令，则，． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为 19.解：的上确界为． 由，得，则． 不妨假设距离最短的这两个交点为，， 则， 两式相减得，即． 由， 得． 由，得． 由题意得 由，得， 所以，即 ， ... ...
