北京市八十中学2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷(pdf版,含答案)

北京市第八十中学 2024-2025 学年第二学期期中考试 高 二 数 学 参 考 答 案 2025 年 4 月 一、选择题（共 10 小题，每题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B D C B C B 二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 题号 11 12 13 14 15 16 2 3 答案 81 0.54 8 144 ①②④ 15 5 三、解答题（共 5 题，共 70 分） 2 4 17.（1） 5 （2）期望为 5 【详解】 4 2 （1）记第 i 次抽到选择题为 Ai ，则P (A1 ) = = 10 5 C2 1 115 1 C C 24 8 C2 6 2 （2） X 可能为 0 1 2， p(X = 0) = 6 = = p(X =1) = 6 4 = = p(X = 2) = 4 = = C2 45 3 C2 2 10 10 45 15 C10 45 15 X 分布列 X 0 1 2 1 8 2 P 3 15 15 8 4 12 4 E(X ) = + = = 15 15 15 5 18.（1）切线方程为 y=2 （2）f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 17 3 s2 s2 s2 19.（1） 36 （2）期望为 4 （3） 3 1 2 【详解】 1 1 （1）由表得：从抽出的 12 名学生中男女生各随机选取一人，共有C6C6 = 36种组合， 其中男生成绩高于女生 (81,72) ,(81,80) ,(84,72) ,(84,80) ,(86,72) ,(86,80) , (86,84)， (86,72) ,(86,80) ,(86,84)， (88,72) ,(88,80) , (88,84) , (91,72), (91,80)， (91,84)， (91,88) . 1 / 4 17 所以事件 A有 17 种组合 ，因此P (A) = ； 36 （2）由数据知，在抽取的 12 名学生中，成绩为优秀（ 90 分）的有 3 人，即从该校参加活动的高一学生 1 中随机抽取 1 人，该学生成绩优秀的概率为 .因此从该校高一学生中随机抽取 3 人，成绩优秀人数 X 可取 4 3 2 1 3 27 1 3 27 0,1, 2,3 Χ ~ B 且 3, , P (Χ = 0) = = ， P (Χ =1) = C 1 4 3 = ， 4 64 4 4 64 2 3 2 3 1 9 1 1P (Χ = 2) = C ， 3 = P (Χ = 3) = = 4 4 64 4 64 所以随机变量 X 的分布列 X 0 1 2 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 27 9 1 48 3 数学期望E(X ) = 0+1 + 2 +3 = = . 64 64 64 64 4 81+84+86+86+88+91 1 6 2 2 5 2 + 22 + 02 + 02 + 22 +52 （3）男生的平均成绩为 x1 = = 86，则 s1 = (xi x1) = 9.667； 6 6 i=1 6 72+80+84+88+92+97 1 6 22 2 13.5 +5.5 2 +1.52 + 2.52 + 6.52 +11.52 女生的平均成绩为 x2 = = 85.5，则 s2 = (xi x2 ) = 65.92； 6 6 i=1 6 由于从参加活动的男生中抽取成绩为 86 分的学生组成新的男生样本， 81+84+86+86+88+86+ 91 1 i=1 52 + 22 + 02 + 022 + 02 + 22 +52 所以 x3 = = 86，则 s23 = (xi x3 ) = 8.286； 7 7 7 7 2 所以 s3 s 2 s21 2 . 1 e ( , 1) (ln a,+ )20.（1） （2） 和 （3）证明见解析 【详解】 x （1）由题意知 f (x) = e (x +1) ax a = (ex a)(x +1)(a R) . 若 a = 0，则 f (x) = xex ，所以 f (x) = ex (x +1) . 令 f (x) = 0，得 x = 1 . 当 x ( , 1)时， f (x) 0,当 x ( 1,+ )时， f (x) 0, 1 所以 f ( x)在 ( , 1)单调递减，在 ( 1,+ )单调递增， 所以 f ( x)的极小值等于 f ( 1) = . e 1 （2）因为a ，所以 ln a 1， 由 f (x) 0，即 (ex a)(x +1) 0，解得 x 1或 x ln a， e 所以 f ( x)在 ( , 1)和 (ln a,+ ) x单调递增， 由 f (x) 0，即 (e a)(x +1) 0，解得 1 x ln a ， 所以 f ( x)在 ( 1, ln a)单调递减， 故 f ( x)的单调增区间为 ( , 1)和 (ln a,+ ) . 2 / 4 1 1 1 1 2 （3）当a 时，由（2）知， f ( x)的极大值等于 f ( 1) = g (a) = + a ； e e 2 2e e2 1 当 a = 时， f (x) 0， f ( x)单调递增， f ( x)无极大值； e 1 当0 a 时，当 x ( , ln a)时， f (x) 0, f ( x)单调递增， e 1 2 当 x (ln a,+ )时， f (x) 0, f ( x)单调递减， 所以 f ( x)的极大值等于 f (ln a) = g (a) = a (ln a) ， 2 1 2 1 令 g (x) = x (ln x) (x 0)，所以 g (x) = ln x ln x +1 ， 2 2 1 1 1 g (x)在 0, 上 g (x) ... ...