专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 异面直线所成的角】 ................................................................................................................................1 【题型 2 线线垂直的判定】 ....................................................................................................................................4 【题型 3 线面垂直的判定】 ....................................................................................................................................9 【题型 4 直线与平面所成的角】 ..........................................................................................................................12 【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 ..........................................................................................17 【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】 ......................................................................................................21 【题型 7 根据线面垂直求参数】 ..........................................................................................................................24 【题型 8 平面内的射影问题】 ..............................................................................................................................29 【知识点 1 直线与直线垂直】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a，b'∥b，我们把直线 a'，b'所成的 角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 < . (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 a 与直线 b 垂直，记 作 a⊥b. 【题型 1 异面直线所成的角】 【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱 1 1 1中，∠ = 120°， = 2， = 1 = 1，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为（ ） A 3 10 3． B． 15 C． D． 2 5 5 3 【解题思路】先补充图形，找到异面直线的夹角，将其放在直角三角形内，利用锐角三角函数的定义求解 余弦值即可. 【解答过程】如图所示，将直三棱柱 1 1 1补成直四棱柱 1 1 1 1， 其中四棱柱的底面为平行四边形，连接 1， 1 1， 则 1// 1，所以∠ 1 1（或其补角）为异面直线 1与 1所成的角． 因为∠ = 120°， = 2， = 1 = 1， 且由题意得 1 ⊥ , 1 ⊥ ， 所以 1 = 5， 1 = 2．在 △ 1 1 1中， ∠ 1 1 1 = 60°， 1 1 = 1， 1 1 = 2， 1 12+22 ( )2 由余弦定理得 = 1 12 2×2×1 ， 解得 1 1 = 3(负根舍去)，则 21 = 21 + 1 21 ， ∠ 2 10所以 1 1 = 90°，所以cos∠ 1 1 = = ，故 C 正确.5 5 故选：C. 【变式 1-1】（23-24 高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 1 1 1中， = 1， ， 分别是 1 1， 1中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A 1 B 2 C 6 D 2 6．5 ．5 ． ．5 5 【解题思路】设 = 1 = 4，取 1的中点 ， 的中点 ， 的中点 ,可得异面直线 与 所成角 为∠ 1 或其补角，利用余弦定理即可求解. 【解答过程】设 = 1 = 4，取 1的中点 ， 的中点 ， 的中点 , 易知 // 1, // 1 // , 所以异面直线 与 所成角为∠ 1 或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得 ⊥ , 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ . = 2 + 2 = 22 + 12 = 5, 1 = 1 2 + ( 1 1)2 = 22 + 42 = 2 5, = 4 × sin60° = 2 3， = 2 + 2 ... ...