2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高一（下）期中 数学试卷（B卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则实数( ) A. B. C. D. 3.下列命题中，正确的是( ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 向量与向量的模相等 4.在中，满足，则的形状为( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.已知是内一点，且满足，则点一定是的( ) A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 7.已知函数是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段，上一动点，则的范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中，正确的是( ) A. B. 已知向量，，则与的夹角为 C. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D. 若向量是与向量同向的单位向量，则 10.定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11.若函数，则下列判断正确的是( ) A. 是减函数 B. 在上的最小值为 C. 若，均为正整数，则为有理数 D. 若在上有零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则 _____用和表示． 13.若向量满足，，则在上的投影向量是_____． 14.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设是两个不共线的向量，已知． 求证：，，三点共线； 若以，且，求实数的值． 16.本小题分 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． 是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知在中，，，分别为边，上的点，且，． 若，用向量方法求证：； 延长到，若为常数，，求的长度． 18.本小题分 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”． 试判断函数是否是“函数”，并说明理由； 若函数其中为自然对数的底数，为“函数”，求实数的取值范围． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，和平行的充要条件为． 已知，，求； 设向量，的夹角为，证明：； 已知非零向量，满足，求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：证明：由， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点， 所以，，三点共线； 由，且， 所以， 即， 所以， 解得， 所以实数的值为． 16.解：设，则，故， 得，所以，所以； 由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则解得 则的取值范围为． 17.解：证明：根据题意可知，，，分别为边，上的点，且，， ，， 又，， ，，， ， 即，得证； ，，三点共线，设， 又，，可得， 由在边上，可得，即，又，则． 18.解：根据题意，对于，当，时，， 因为 所以， 所以是“函数”； 当，时，由是“函数”， 得，即对一切正数恒成立． 因为，所以对一切正数恒成立， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数，恒成立， 必有，即， 综合可得：，即的取值范围为． 19.解：因 ... ...
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