专题01 平面向量的基本运算与线性表示（8大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（苏教版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量的概念 题型二：线性运算 题型三：三点共线 题型四：平面向量共线定理及推论 题型五：平面向量的运算 题型六：平面向量的坐标表示 题型七：四心问题 题型八：新定义问题 【知识点梳理】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 题型一：平面向量的概念 【例1】（24-25高一下·陕西安康·期中）已知向量，则与（ ） A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．互为共线向量 D．均为零向量 【变式1-1】（24-25高一上·北京西城·期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【变式1-3】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：线性运算 【例2】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·河南开封·期末）中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A．0 B． C． D．1 【变式2-3】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知 ... ...