备考2025年中考数学答题技巧汇编(通用版)专题08圆的有关计算与证明问题题型总结(6大模型)(学生版+解析)

专题08圆的有关计算与证明大题题型总结（6大类型） 题型解读｜模型构建｜通关试练 在中考数学中，圆的基本性质与计算在大题中通常考察垂径定理的有关计算、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，并且圆的性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三. 1、垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2、圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 3、圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”--圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 4、圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 模型01 垂径定理的有关计算与证明 考｜向｜预｜测 垂径定理的计算与证明问题，在圆的有关解答题中会考查到，垂径定理的计算问题经常涉及平行线的判定、勾股定理、直角三角形、三角形中位线性质、全等三角形、相似三角形的判定和性质等内容，此部分计算难度不大，分值一般在5-8分左右 答｜题｜技｜巧 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.在弦长.弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个. （24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，为圆的直径，为圆上一点，为弧的中点，过作于点，交圆于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1 ... ...