第五章 §3 素养作业 提技能 A 组·素养自测 一、选择题 1．10＝( ) A．i B．－i C．＋i D．－i 【答案】 A 【解析】 10＝10＝10(1＋i)10， 由于(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝32i， 所以10(1＋i)10＝10·32i＝i.故选A． 2．设复数z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是( ) A．r>0，θ∈[0，2π) B．r≥0，θ∈(0，2π) C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0，2π) 【答案】 D 【解析】 由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ<2π.故选D． 3．复数－2辐角的主值是( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 方法一：∵－2 ＝2， ∴辐角的主值为，故选C． 方法二：复数对应点在第三象限， ∴辐角主值是第三象限角． 4．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为( ) A．2＋cos＋isin B．2 C．2 D．2 【答案】 D 【解析】 因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝， 从而可知2i＝2. 5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是( ) A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° 【答案】 B 【解析】 令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°，故选B． 6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是( ) A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】 C 【解析】 因为z＝sin－icos＝cos－isin＝cos＋isin， 则＝cos＋isin， 所以＝cos＋isin＝zn＝cos＋isin， 由此得＝2kπ－(k∈Z)． 所以n＝6k－1，k∈Z，n∈N，故n的最小值为5. 二、填空题 7．设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为_____. 【答案】 2 【解析】 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(－i)＝2. 8．计算下列式子，写出其结果的代数形式：5·2＝_____. 【答案】 ＋i 【解析】 5·2＝10 ＝10＝＋i. 9．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝_____ . 【答案】 ＋i 【解析】 (cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 三、解答题 10．把下列复数表示成三角形式． (1)5； (2)i； (3)＋i； (4)－1－i； (5)3－3i； (6)－4＋3i. 【解析】 (1)5＝5(cos 0＋isin 0)． (2)i＝cos＋isin. (3)＋i＝cos＋isin. (4)－1－i＝2＝2. (5)3－3i＝6＝6. (6)－4＋3i＝5＝5(cos θ＋isin θ). B 组·素养提升 一、选择题 1．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于( ) A． B．－ C．－1 D．1 【答案】 D 【解析】 因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1. 2．向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是( ) A．负实数 B．纯虚数 C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0) 【答案】 B 【解析】 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)， z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，由于⊥， 所以＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ＝[cos(±90°)＋isin(±90°)] ＝±i，即为纯虚数．故选B． 3．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( ) A．z＝2 B．z＝2 C．z＝2 D．z＝2 【答案】 AD 【解析】 z＝3＋i ＝2 ＝2 ＝2， 故选AD． 4．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( ... ...
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