2025年九年级数学中考二轮复习专题：圆中切线的证明综合训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学中考二轮复习专题：圆中切线的证明综合训练 1．如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC＝BC，求证：AC为⊙O的切线． 2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长． 4．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长． 6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线； （2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度； （3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3）若CD＝1，EF＝，求AF长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长． 9．已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E． （1）求证：CE与⊙O相切； （2）若AB长为6，求CE长． 10．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证： （1）DE是⊙O的切线； （2）AB＝AC． 11．如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长． 12．如图，⊙O的直径AD＝8，AB、CD是⊙O的两条切线，AB＝3，CD＝ （1）求证：△ABO∽△DOC； （2）求证：BC是⊙O的切线． 13．如图所示，点A、B、C在⊙O上，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA＝PD．求证：PA与⊙O相切． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O在AC上，OA＝2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求线段DE的长； （3）求线段AD的长． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AB＝5，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长． 参考答案 1．【解答】证明：连接OC，如图所示： ∵点A、B在⊙O上， ∴OA＝OB， ∵CB为⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， 在△OAC和△OBC中，， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC为⊙O的切线． 2．【解答】（1）证明：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝ ... ...