浙江省2025年中考数学三轮冲刺必刷【题型预测】06 平行四边形与特殊的平行四边形 （原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 【题型预测】06 平行四边形与特殊的平行四边形 题型一 平行四边形的性质与判定定理 1．（2025 嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵点E是线段BD的中点， ∴BE＝DE， 又∵EF＝CE， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF∥CD； （2）如图，连接AF， ∵四边形FBCD是平行四边形， ∴BD∥CD，BF＝CD， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BF， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴AB与FD互相平分． 2．（创新考法）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则 ABCD的面积为 　 　 ． 【答案】（1）见解答； （2）50． 【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； 乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得AE＝CF，再证AC＝5AE，然后由三角形面积关系得S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝25，即可解决问题． 【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵EF＝3AE， ∴AC＝5AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25， ∴S ABCD＝2×25＝50， 故答案为：50． 题型二 矩形的性质与判定 1．（2024 邗江区校级一模）如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）AD的长为5． 【分析】（1）证明Rt△ABO≌Rt△DEA，然后根据矩形的判定解答即可； （2）利用全等得到AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．利用勾股定理列式解答即可． 【详解】（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E， ∴∠ABO＝∠DEA＝90°． 在Rt△ABO与Rt△DEA中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL） ∴∠AOB＝∠DAE． ∴AD∥BC． 又∵AB⊥OM，DC⊥OM， ∴AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA， ∴AB＝DE＝3， 设AD＝x，则OA＝ ... ...