浙江省2025年中考数学三轮冲刺必刷【题型预测】05 直角三角形、勾股定理与解直角三角形 （原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 【题型预测】05 直角三角形、勾股定理与解直角三角形 题型一 直角三角形的性质与判定 1．（2025 景德镇模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　） A．28° B．31° C．34° D．38° 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝62°，进而可得出结论． 【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴BD＝AD＝CDAB， ∴∠A＝∠DCA＝62°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣62°＝28°． 故选：A． 2.（2025 上杭县模拟）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过P作PH⊥OA于H，由平行线的性质推出∠PCH＝∠AOB＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PHPC8＝4，由角平分线的性质推出PD＝PH＝4． 【解答】解：过P作PH⊥OA于H， ∵PC∥OB， ∴∠PCH＝∠AOB＝30°， ∵∠PHC＝90°， ∴PHPC8＝4， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PH⊥OA， ∴PD＝PH＝4． 故选：B． 题型二 勾股定理的运用 1．（2025 萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝5，AB＝12，BC＝13，过点B作BE⊥CD于点E，则DE的长为（　　） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】连接BD，过点D作DF⊥BC于点F，根据AD∥BC，∠A＝90°可知AB⊥BC，故BF＝AD＝5，DF＝AB＝12，再由BC＝13可得出CF的长，利用勾股定理即可得出CD的长，再求出BD长，利用等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接BD，过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD∥BC，∠A＝90°，AD＝5，AB＝12，BC＝13， ∴AB⊥BC， ∴四边形ABFD是矩形， ∴BF＝AD＝5，DF＝AB＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝13﹣5＝8， ∴CD4， 在Rt△ABD中，BD13， ∴BD＝BC， ∵BE⊥CD于点E， ∴DECD＝2． 故选：D． 2.（创新考法）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若△ABC是“亚直角三角形”，且∠A＝110°，则△ABC中最小锐角的度数为　 　 °． 【答案】20． 【分析】根据“亚直角三角形”的定义及三角形内角和定理，可列出关于α，β的二元一次方程组，解之取其中的较小值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴△ABC中最小锐角的度数为20°． 故答案为：20． 3.（创新考法）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数a（a≠1），b，当a为偶数，，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为　 　 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】15（答案不唯一）． 【分析】分a＝8、b＝8、b+2＝8三种情况，根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：当a＝8时，b+b+2， 解得：b＝15，8，15，17是勾股数， 当b＝8时，8+8+2， 则a＝6，6，8，10是勾股数， 当b+2＝8时，b＝6，则6+6+2， ∴a2＝28， 此时，a不是正整数， 综上所述：b对应的数为15或8， 故答案为：15（答案不唯一）． 4.（创新情境）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A，B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P．AB＝6，AC＝8，BC＝10．则CP的长度是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意得出P为Rt△ABC的重心，连接CP并延长交AB于点F，勾股定理求得CF，进而根据重心的性质，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接CP并延长交AB于点F， ∵AB ... ...