11．2.2　正弦定理 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11．2.2　正弦定理 1. 熟练掌握正弦定理的变形与运用． 2. 掌握三角形中的面积公式． 3. 能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 活动一 巩固正弦定理 例1　在△ABC中，判断下列各命题是否正确． (1) ＝； (2) 若a＋c＝2b，则sin A＋sin C＝2sin B； (3) 若sin B sin C＝sin2A，则bc＝a2. 在三角形中，正弦定理可以将边之间的关系全部转换成角之间的关系，反之可以将角之间的正弦关系转换成边之间的关系． 已知命题：在△ABC中，若cos B＝，sin A＝，则A为钝角．判断该命题的真假． 活动二　利用正弦定理判断三角形的形状　 例2　在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状． 对于三角形的形状，可以用边之间的关系，也可以用角之间的关系，所以要把条件中的边角关系，通过正弦定理，转换为纯的边或角的关系去判断． 根据下列条件，判断△ABC的形状． (1) sin2A＋sin2B＝sin2C； (2)a cos A＝b cos B. 活动三　利用正弦定理证明三角形中的有关性质　 例3　如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明＝. 三角形中有些性质，可以通过正弦定理去证明． 在△ABC中，证明：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.　 活动四　利用正弦定理解决实际问题　 例4　如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC.(精确到1m) 在实际生活中，会遇到一些长度和角度的大小的测量问题，可以将这些量放在三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理去解决． 一艘船以42n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°.求灯塔S与A之间的距离． 1. (教材改编)在△ABC中，若AB＝3，BC＝3，B＝45°，则△ABC的面积为(　　) A. 2 B. 4 C. D. 2. (2024南通期中)一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30 min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为(　　) A. 8 n mile B. 16 n mile C. 16 n mile D. 16 n mile 3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论中正确的是(　　) A. sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B. △ABC是钝角三角形 C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍 D. 若c＝6，则△ABC外接圆的半径为 4. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝_____． 5. (2024南京月考)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C所对的边，且＝. (1) 求的值； (2) 若cos C＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 11．2.2　正弦定理(2) 【活动方案】 例1　因为＝＝＝2R， 所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C， sin A＝，sin B＝，sin C＝. (1) 因为＝2R＝＝，　 所以该命题正确． (2) 因为2R sin A＋2R sin C＝2×2R sin B， 所以sin A＋sin C＝2sin B， 所以该命题正确． (3) 因为·＝， 所以bc＝a2， 所以该命题正确． 跟踪训练　因为cos B＝， 所以sin B＝，且B为锐角， 所以sin B>sin A，即B>A.所以A为锐角． 故原命题为假命题． 例2　由＝及＝， 得＝，所以tan A＝tan B. 因为A，B∈(0，π)，所以A＝B. 同理可得A＝C，故△ABC是正三角形． 跟踪训练　(1) 由正弦定理，得a2＋b2＝c2， 所以△ABC是以C为直角的直角三角形． (2) 由余弦定理，得 a·＝b·， 化简，得a2c2－b2c2＝a4－b4， 即c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)， 所以a2＝b2或c2＝a2＋b2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形． 例3　在△ABD中，＝， 在△ADC中，＝. 又sin ∠ADB＝sin ∠ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以＝. 跟踪训练　设BC边 ... ...