11．3.2 余弦定理、正弦定理的应用 综合运用正、余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的实际问题． 活动一 距离问题 例1 隔河可看到两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(点A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 在三角形中，知道了一边及三个角的大小，一般用正弦定理求出其他的边长．若在三角形中，知道了两边一夹角，利用余弦定理求出第三边的长度． 如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，计划沿直线AC开通穿山隧道．为求出隧道DE的长度，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ，测得AD＝m，EB＝n，BC＝p.用以上数据(或其中的部分数据)表示隧道DE的长度． 活动二 角度问题 例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在点A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile的点C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间．(角度精确到0.1°，时间精确到1min) 对于实际中的角度问题，要分清方向角、方位角、俯角、仰角等概念． 甲船在点A处发现乙船在北偏东60°的点B处，测得乙船以a n mile/h的速度向正北方向行驶，甲船以a n mile/h的速度追击，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇？ 活动三 高度问题 例3 测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB. 解三角形在实际中的运用，需要根据题意找到对应的三角形中的关系，再利用正、余弦定理求解． 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到点A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达点B处，测得此山顶在北偏西30°方向上． (1) 求此山CD的高度； (2) 设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ. 活动四 综合应用 例4 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上的任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，首先要在理解题意的基础上，将实际问题数学化，然后利用有关定理、性质、公式解决这个数学问题．步骤如下：分析题意→画示意图→化成数学问题→运用有关知识解决(计算). 如图，有一个三角形的绿地ABC，其中AB的长为7 m，由点C看AB的张角为45°，在AC边上一点D处看AB的张角为60°，且AD＝2DC，求这块绿地的面积． 1. (教材改编)第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为( ) A. 10 km B. 30(－1)km C. 15 km D. 10 km 2. (2024湖北月考)如图，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为( ) A. 10 m B. 10 m C. 20 m D. 10 m 3. (多选)(教材改编)一艘轮船航行到点A处时看灯塔B在点A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在点A的北偏西30°方向上，距离为6 n mile，该轮船从点A处沿正北方向继续航行到点D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则下列结论中正确的是( ) A. AD＝12 n mile ... ...
