2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第15讲角平分线中常见辅助线作法的解题策略 自主学习单 含答案

对应练习答案解析 一、选择题 1．如图，在△ 中，∠ = 60°，∠ 和∠ 的平分线 、 相交于点 ， 交 于 点 ， 交 于点 ，若已知△ 周长为 20， = 7， : = 4: 3，则 长为（ ） A 18． B 24 26． C． D．4 7 7 7 【答案】B 【分析】在 上截取 = ，连接 ，由 SAS可证得△ ≌△ ，于是可得∠ = ∠ = 60°，由 ASA可证得△ ≌△ ，于是可得 = ，进而可求得 的长． 【详解】解：如图，在 上截取 = ，连接 ， ∵ 平分∠ ， 平分∠ ， ∴ ∠ = ∠ = 1∠ ，∠ = ∠ = 1∠ ， 2 2 ∵ ∠ = 60°， ∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 180° 60° = 120°， ∴ ∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1 × 120° = 60°， 2 2 ∴ ∠ = 180° ∠ + ∠ = 180° 60° = 120°， ∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 120° = 60°， ∠ = 180° ∠ = 180° 120° = 60°， ∵ ∠ = ∠ ， ∴ ∠ = ∠ ， 在△ 和△ 中， 试卷第 1页，共 17页 = ∠ = ∠ ， = ∴△ ≌△ SAS ， ∴ ∠ = ∠ = 60°，∴ ∠ = ∠ ∠ = 120° 60° = 60°， ∴ ∠ = ∠ ， ∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ， 在△ 和△ 中， ∠ = ∠ = ， ∠ = ∠ ∴△ ≌△ ASA ， ∴ = ，∴ + = + = = 7， ∵△ 周长为 20，∴ + + = 20， ∴ + = 20 ， ∴ + = + = + + = 20 = 20 7 7 = 6， ∵ : = 4: 3，∴ = 3 ，∴ + 3 = 6 24，解得： = ， 4 4 7 故选：B． 试卷第 2页，共 17页 2．如图，在△ 中， = ，∠ = 90°， 平分∠ 交 于点 D， ⊥ 交 的延长线于点 E．则下列结论：①∠ = 22.5°；② = 2 ；③若 = 4，则 △ = 16； ④ △ = = ．其中正确的结论有（ ） △ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等，证明∠ = ∠ = 22.5°，可判断①；证明△ ≌△ ASA ，△ ≌△ ASA 可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可 判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④． 【详解】解：∵ = ，∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 45°， ∵ 平分∠ ∴∠ = ∠ = 22.5°，∵ ⊥ ，∴∠ = ∠ = 90°， ∵∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ = 22.5°，∴①正确； 延长 , ，相交于点 F， ∠ = ∠ ∵ = ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ， ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∵ = ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ，∴ = 2 ， ∠ = ∠ = 90° ∴ = 2 ；故②正确； ∵ = 4，∴ = 2 = 8 1；∴ △ = · = 16，故③正确；2 ∵△ , △ 是底边 、 上的等高三角形，∴ △ = ， △ 过点 D 作 ⊥ 于点 H，∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = ， 1 ∴ △ 2 · = = △ = = 1 ，∴ ，故④正确；则正确的结论有 4个， △ 2 · △ 故选：D． 试卷第 3页，共 17页 3．如图， 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 E， ∥ 交 的延长线于点 F，若 恰好平 分∠ ．则下列结论中：① 是△ 的高；② 是△ 的中线；③ = = ； ④ = + ．其中正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质得到∠ + ∠ = 180°，那么 2∠ + 2∠ = 180°，即可判断①；证明△ ≌△ ASA ，即可判断②；证明△ ≌△ AAS 即可判断③；证明△ ≌△ HL ，则 = ，同理可知 = ，再根 据线段和差即可判断④． 【详解】解：∵ 平分∠ ， 恰好平分∠ ， ∴∠ = ∠ = 1∠ , ∠ = ∠ = 1∠ ， 2 2 ∵ ∥ ，∴∠ + ∠ = 180°，∴2∠ + 2∠ = 180°， ∴∠ + ∠ = 90°，即∠ = 90°，∴ ⊥ ，即 是△ 的高，故①正确； ∵ ⊥ ∴∠ = ∠ = 90°， ∵ = ，∠ = ∠ ，∴△ ≌△ ASA ， ∴ = ，即 是△ 的中线，故②正确； ∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ ， = ∴△ ≌△ AAS ， ∴ = ，但不能证明 = = ，故③错误；过点 D 作 ⊥ 于点 G，如图所示： ∵ 平分∠ ， 平分∠ ，∠ = ∠ = 90°，∴ = = ， ∵ = ，∴△ ≌△ HL ，∴ = ，同理可知 = ， ∵ = + ，∴ = + ， ... ...