罗湖区中考备考“百师助学”课程之《应用题中结合函数性质求最值》 ———罗景匀 一、 知识技能梳理 在讲解二次函数应用题时，我们可以围绕面积最值、利润最大值和抛物线图像最值这三 个核心角度展开。对于面积最值问题，学生需要掌握如何根据几何条件（如固定长度的篱笆 围矩形）建立面积与边长的函数关系，并通过配方或顶点公式求出最大值，同时注意实际约 条件（如边长非负）。 利润最大值问题的关键在于理解“利润=单件利润×销量”的模型，学生需学会根据售价变 化调整销量关系，构建二次函数并利用顶点确定最优定价。可通过表格梳理售价、销量和利 润的对应关系，有助于直观理解变量之间的影响。 对于抛物线图像最值问题，学生需要根据实际问题（如喷泉高度、拱桥跨度）提取顶 点、开口方向等关键信息，必要时建立适当的坐标系，并代入已知点坐标计算，解决具体求 最值问题（如车辆通行高度）。无论是哪类问题，教师都应注重分层教学，为基础薄弱的学生 提供填空式模板，而对能力较强的学生则鼓励自主建模，引导学生总结出“建模型、抓顶点、 验实际”的通用解题逻辑，让他们意识到二次函数不仅是抽象的数学符号，更是解决生活中优 化问题的有力工具。 二、 学习过程 模块一：面积问题 【例题精讲】 例 1．某农场拟建两个矩形房间，房间一面靠已有的墙（墙长大于48m），中间用一道墙隔开，正 面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5 ，计划中的建筑材料总长45m，设两个房间的 宽度为 ，总占地面积为 2． (1)求 y关于 x的函数表达式和自变量 x的取值范围． (2)求房间的宽度为多少米时，最大面积为多少m2 ？ (3)若要使两个房间合计占地总面积不低于189m2，求房间的宽度 的范围． 【针对巩固】 练习 1. 林场要建一个果园(矩形 ),果园的一面靠墙(墙最大可用长度为30米),另三边用木栏围 成,中间 也用木栏隔开,分为甲、乙两个场地,并在如图所示的两处各留1米宽的门(不用木栏),木栏 总长58米.设果园(矩形 )的边 为 米,矩形 ABCD 的面积为 平方米. (1)求 关于 的函数表达式,并写出自变量 的取值范围; (2)求果园能达到的最大面积 及相应 的值; (3)若木栏 比 多10米,其余条件不变,甲场地种植葡萄,一季平均每平方米收益40元;乙场地种植 草莓,一季平均每平方米收益160元.若果园的利润不低于16800,请直接写出整数 的所有可能取值. 模块二：利润问题 【例题精讲】 例 2．某工厂生产 , 两种型号的环保产品, 产品每件利润200元, 产品每件利润500元,该工厂按 计划每天生产两种产品共50件,其中 产品的总利润比 产品少4000元. (1)求该厂计划每天生产 A 产品和 B 产品各多少件 (2)据市场调查, 产品的需求量较大,该厂决定在日总产量不变的前提下增加 产品的生产,但 产品 相比原计划每多生产一件,每件利润便降低10元.设该厂实际生产 产品的数量比原计划多 件,每天 生产 , 产品获得的总利润为 元. ① 求总利润 的最大值; ②若每生产一件环保产品,政府给予 a 元的补贴,要使该厂每日利润不少于17200 元,试求 a 的最小 值. 【针对巩固】 练习 2. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念 品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第 天(1 ≤ ≤ 28,且 为整数)与 该天销售量 (件)之间满足函数关系如表所示: 第 天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量 220 240 260 280 300 320 340 … (件) 为回馈顾客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价 (元)与第 天(1 ≤ ≤ 28且 为整数)成 一次函数关系且满足 = 2 + 100.已知该纪念品成本价为20元/件. （1）求 关于 的函数表达式; （2）求这 28 天中第几天销售利润最大,并求出最大利润; （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前, ... ...
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