2025年中考数学复习：二次函数36种经典问法（含解析）

二次函数36种经典问法 已知，如图，抛物线 与x轴交于A、B 两点, 与y轴交于点C, OA=OC=3，顶点坐标为D。 1.求此抛物线的解析式。 解: 由OA=OC=3, 得A (-3, 0), C (0, - 3), 把A，C坐标代入 中， 故 结论1： 适用于一般形式： 条件：已知三点的坐标，直接代入三点的坐标，建立三元一次方程组求解。 结论2： 适用于顶点式： 条件：①已知顶点坐标；②已知对称轴；③已知函数最值；④已知两个对称点.直接代入，建立二元一次方程组求解。 结论3： 适用于 两 根式： (a≠0)条件：①已知函数图像与x轴的两个交点 (x , 0), (x , 0); ②已知函数图像上的一个点坐标；直接代入条件，建立一元一次方程求解。 结论4： 关于x轴对称： 如：抛物线 关于x轴对称，x不变，y变为它的相反数，因此抛物线的解析式： (a≠0), 即 结论5： 关于y轴对称： 如：抛物线 关于y轴对称，y不变，x变为它的相反数，抛物线的解析式： (a≠0), 即 结论6： 平移： 左加右减→x，上加下减→y 如：抛物线 向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度后解析式： c+n。 2.判断△ACD的形状，并说明理由。 解：由 得定点坐标D (-1, - 4), 又A(-3,0), C(0,-3), 由两点之间的公式，得 则 故△ACD为直角三角形。 3.求四边形ABCD 的面积。 解：先整△ACD是直角三角形 (同2)，则 A (-3,0), B (1,0) C (0, - 3),则AB=4,OC=3, 得 故 解题方案 分割法二次函数面积题型有详细讲解 4.在对称轴上找一点 P，使△BCP 的周长最小，求出点 P 的坐标及△BCP 的周长。 解: 由A (-3,0), C (0, - 3)得AC: y=-x-3, 得对称轴x=-1, ∵点A、B关于x=-1对称, ∴AC与x=-1的交点即为点P,则 A (--3, 0), B (1, 0) C (0, - 3), 得 故△BCP 的周长为: 解题方案 5.在直线AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴, 交AC于点M, 当点 N在什么位置时，线段 MN的长度最大，并求出最大值。 解: 设N(t, t +2t-3) 由AC: y=-x-3, 则M(t, - t-3) 则 故当 时，MN有最大值 此时， 解题方案 利用数形结合思想设坐标，构建二次函数模型求出最大值。 6.在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N，使得△ACN的面积最大，求出最大值。解:过N 作直线直线l∥y轴,交 AC 于M, 交x轴于H, 作CP⊥l于点P, 则l⊥x轴, 故当 MN取最大值时，△ACN面积最大。 解题方案 铅垂线法，建模二次函数解决三角形面积最大值，这本书中有专题讲解。 7.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使得四边形ABCN 的面积最大，求出最大值。 解：由于△ABC的面积是定值，则转化为上题的解。 故 8.在 y轴上是否存在一点E，使得△ADE为直角三角形，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。 解: ①若∠EAD=90°, 如图, 作 MN∥y轴, EM⊥MN, DN⊥MN。 设E(0, t), 则EM=3, DN=2, MA=t,AN=4, 由∠EMA=∠EAD=AND=90°, 则△EMA∽△AND(AAS) 得 故 ②若∠EDA=90°, 如图, 作 DH⊥y轴于H, 设E(0, t), 则AN=4, DN=2, DH=1,HE=t+4, 由∠EHD=∠EDA=AND=90°,则△AND∽△DHE(AAS), 得 故 ③若∠AED=90°, 如图, 设E(0, t), 则AO=3, OE=-t, DH=HE=t+4, 由∠AOE=∠AED=EHD=90°, 则△AOE∽△EHD(AAS), 得 ∴t=-1或t=-3, 故E (0, - 1) 或 (0, - 3), 综 上 所 述,E的 坐 标 为: (o, - ), (0, - 1)或 (0, - 3), 9.在y轴上是否存在一点F，使得△ADF为等腰三角形，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由。 解: 由A (-3, 0), D (-1, - 4) 得： 设F(0, t),则. ①若AD=AF, 则 ②若DA=DF,则 ③若FA=FD, 则 综上所述，F点坐标为 (0， ), 或( 10.在抛物线上是否存在一点 N，使得 S△ABN=S△ABC,若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 解:由C(0,-3), 得OC=3,则△ABC中, AB边上的高为OC=3,又S△ABN=S△ABC, 则抛物线上到 AB 距离为3 的点均满足条件 ... ...