三角形的证明单元考点训练 一、选择题(共35分) 1[2024 河北唐山二模]如图,甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点 P 的正南方向匀速航行，乙船沿点 P的北偏东 70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的( ) A.北偏东 10°方向 B.北偏东30°方向 C.北偏东35°方向 D.北偏东40°方向 2 新考向传统文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边的长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大 题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为 ( ) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 3[2023 辽宁本溪模拟]下列说法正确的个数是( ) ①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③每个定理都有逆定理；④定理一定有逆命题;⑤命题“若a=b,则 的逆命题是假命题. A.1 B.2 C.3 D.4 4[2023 四川达州模拟]如图,△ABC的三边AB,BC,CA 的长分别是30,40,50,∠ABC 和∠ACB的平分线交于O,则 S△ABO: S△BCO : S△CAO等于( ) A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 5[2023 山东淄博张店区期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D 在边 BC上,点 E 在∠C 内部,且△ADE 是等边三角形,∠CBE=60°.若BC=5,BE=3,则△ABD的面积为 ( ) 6[2023广东深圳龙岗区模拟]如图，在△ABC和△BCD中,AC=DC=3,AD 是∠BAC的平分线,BD⊥AD，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ( ) A.6 B. C.3 D.2 7如图,在等边△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以 DE 为边在△ABC 内作等边△DEF,连接CF,当点 D 从点A向点 B 运动(不运动到点 B)时,∠ECF 大小的变化情况是 ( ) A.不变 B.变小 C.变大 D.先变大后变小 二、填空题(共20分) 8已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°.下面给出了打乱顺序的运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾; ②因此假设不成立，所以∠B<90°； ③假设在△ABC中,∠B≥90°; ④由 AB =AC,得∠B = ∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是 (填序号) 9[2024四川绵阳期末]如图,在△ABC 中,AB边的垂直平分线 PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P,过点 P作 PD⊥BC 于点 D,PE⊥AC 于点E.若BC=6,AC=4,则CE的长度是 . 10[2024 江苏徐州调研]如图，在直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A 在x轴上,顶点 B 在y轴上,∠ACB=90°,OB∥AC,点C 的坐标为(1,2),点D 和点 C关于直线AB 成轴对称,且AD交y轴于点 E，则点 E 的坐标为 . 11[2023江西上饶模拟]如图,△ABC中,∠CAB=60°,∠B=75°,AB=2,AD 平分∠BAC交 BC于点D,E为AB上一动点(点E 不与B重合),△DBE关于直线DE 对称的图形为△DFE，若点 F 落在△ABC 的边上,则DE 的长为 . 三、解答题(共45分) 12[2023 陕西西安高新区期中]如图，点 P 是∠MON内一点,PA⊥OM 于点 A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA. (1)求证:OP平分∠MON; (2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积. 3[2023 广东韶关期末]已知:如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE 相交于点O,点M，N分别是线段AD，BE的中点. (1)求证:AD=BE; (2)求∠DOE的度数; (3)求证:△MNC 是等边三角形. 14【问题】 如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于点 E,交 BC 于点F,连接AF,AD.当∠B=30°,∠BAF=90°时,求∠DAC的度数. 【探究】 若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，其他条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗 请说明理由. 【拓展】 若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，再将“∠BAF=90°”改为“∠BAF=α”,其余条件不变,则∠DAC= . 1. C 【解析】如图，根据题意得. .乙船在甲 ... ...
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