【期末题型总复习】专题02 平行线综合压轴题 原卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 【期末题型总复习】专题02 平行线综合压轴题 1．（2024春 海曙区期末）如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b． （1）若∠AED＝40°，求∠BFG的度数； （2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠AED＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点M，连结ME，MQ，请直接写出∠MEQ、∠EMQ、∠MQF之间的数量关系（用含m的式子表示）． 【分析】（1）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可． （3）结合题意画出图形，分类讨论即可． 【解答】解：（1）如图1，过点B作直线BH∥a， ∴∠ABH＝∠AED＝40°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBH＝90°﹣∠ABH＝50°， ∵BH∥a，a∥b， ∴BH∥b， ∴∠CBH+∠BFG＝180°， ∴∠BFG＝180°﹣∠CBH＝130°； （2）∠AED+∠PFG＝90°，理由如下： 如图2，过点B作直线BH∥a，由（1）得，BH∥a∥b， ∴∠ABH＝∠AED， ∵∠CBH+∠ABH＝∠ABC＝90°， ∴∠CBH+∠AED＝90°， ∵BH∥b， ∴∠CBH+∠BFG＝180°， ∴∠PFG+∠BFG＝180°， ∴∠CBH＝∠PFG， ∴∠AED+∠PFG＝90°； （3）∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m或∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m．理由如下： 当点P在DC上时，如图3（1）， 在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°， ∵a∥b， ∴∠EQF＝∠AED＝m， ∵∠EQM＝∠EQF﹣∠MQF， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF﹣∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+m﹣∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m． 当点M在DC的延长线上时，如图3（2）， 在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°， ∵a∥b， ∴∠EQF＝∠AED＝m， ∵∠EQM＝∠EQF+∠MQF， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF+∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+m+∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m． 综上，∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m或∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m． 【点评】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一． 2．（2024春 鄞州区期末）如图，直线PQ∥MN，一副三角板（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠A＝45°，∠DEC＝60°，∠DCE＝30°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN． （1）求∠DEQ的度数． （2）如图②，若将△ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）． ①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值． ②若在△ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边FG与△CDE的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值． 【分析】（1）根据角平分线可得出∠ECN＝67.5°，再根据平行线的性质求解即可； （2）①先求出∠DCN＝67.5°，再根据BG∥CD得出∠CBG＝∠DCN，进而建立关于t的方程即可求解； ②由题知FG与△CDE的一边互相平行，则需分三种情况讨论，画出图形利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°， ∴∠ACN＝135°， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ECN＝67.5°， ∵PQ∥MN， ∴∠QEC＝180°﹣∠ECN＝180°﹣67.5°＝112.5°， ∵∠DEC＝60°， ∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠DEC＝112.5°﹣60°＝52.5°； （2）①∵∠DCE＝30°， ∴∠DCN＝67.5°﹣30°＝37.5°， ∵BG∥CD， ∴∠CBG＝∠DCN， ∴3t＝37.5， ∴t＝12.5秒； ②由题知FG与△CDE的一边互相平行，则需分三种情况讨论， Ⅰ，当FG∥HK， t1＝16.5s； t2＝52.5s； Ⅱ，当FG∥EK， t3＝34.5s； Ⅲ，当FG∥HE， t4＝22.5s； t5＝58.5s； 故答案为：16.5s ... ...