2024-2025 学年重庆市万州第二高级中学高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2.若复数 = 1+ ，则| | =( ) A. 2 B. 2 C. 10 D. 10 2.已知平面向量 = (1,3)， = (2, 1)，若 ⊥ ( + )，则实数 的值为( ) A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 3.用斜二测画法画水平放置的△ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 ′ ′ ′.已知点 ′是斜 边 ′ ′的中点，且 ′ ′ = 2，则△ 的面积为( ) A. 4 2 B. 8 2 C. 2 2 D. 6 2 4.下列说法正确的是( ) A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 5.在梯形 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若点 在线段 上，则| + 4 |的最小 值是( ) A. 72 B. 4 C. 8 D. 9 2 6.如图，已知圆台形水杯盛有水(不计厚度)，杯口的半径为 4，杯底的半径为 3，高为 6.5， 当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 的球(球被完全 浸没)，水恰好充满水杯，则 =( ) A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.25 7.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在正方体的内切球表面上运动，且满足 1 //平面 1 1， 则 的最小值为( ) A. 63 B. 3 3 C. 3 6 2 D. 6 8.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为△ 的面积，且 3 = 2 ( )2，则 的取 值范围为( ) 第 1页，共 9页 A. ( 7 , 25 ) B. ( 725 7 25 , + ∞) C. ( 24 25 24 25 , 24 ) D. ( 25 , + ∞) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知 1， 2均为复数，且 2 ≠ 0，则下列结论正确的是( ) A.若 1 2 = 0，则 1 = 0 B.若 1 = 2，则 1 + 2是实数 C.若 21 < 0，则 1是纯虚数 D.若 3 = 31 2，则 1 = 2 10.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，其外接圆半径为 ，内切圆半径为 = 2，满足 + + = 2，△ 的面积 △ = 6，则( ) A. + + = 6 B. 2 + 2 + 2 = 12 C. + + = 24 D. = 2 6 11.如图 1，扇形 的弧长为 24 ，半径为 12 2，线段 上有一动点 ，弧 上一点 是弧的三等分点， 现将该扇形卷成以 为顶点的圆锥，使得 和 重合，则在图 2 的圆锥中( ) A.圆锥的表面积为 144(1 + 2) B.当 为 中点时，线段 的长为 11 2 C.存在 ，使得 ⊥ D. = 3 30 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 3.已知向量 与 的夹角为4 ，且| | = 2，| | = 2，则 在 上的投影向量为_____． 13.18 世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、 1 球、台等几何体 的统一体积公式 = 6 ( + 4 + )(其中 ， ， ， 分别为 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高)，我们也称为“万能求积公式”. 1 4 例如，已知球的半径为 ，可得该球的体积为 = 6 × 2 (0 + 4 × 2 + 0) = 3 3 1 1 已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，可得该正四棱锥的体积为 = 6 × [0 + 4 × ( ) 2 2 + 2] = 23 .类似 地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 的表面积为 36 2，若用距离球心 都为 2 的两个平行 平面去截球 ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为 3． 14.锐角△ 的内角所对边分别是 ， ， 且 = 1， = 1，若 ， 变化时，4 2 2 存在最大值，则正数 的取值范围_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2页，共 9页 15.(本小题 13 分) 已知向量| | = 10，| | = 5， ⊥ ( 12 + )． (1)求向量 与 的夹角 的大小； (2)若向量 = + ， = 2 ( ∈ )，当| |取得最小值时，求| + |． 16.(本小题 15 分) 如图，正方体 ... ...
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