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课件网) 第八章 平行线的有关证明 8.6 三角形内角和定理 第2课时 三角形内角和定理（2） 外角定义： △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. ∠1是△ABC的∠ ACB的外角. 你能在图中画出△ABC的其他外角吗？ 8.6 三角形内角和定理 第2课时 三角形内角和定理（2） 如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什么关系 ∠1+∠4=180°; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理), ∠1+∠4=180°(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). A B C D 1 2 3 4 能证明你的结论吗 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 议一议 8.6 三角形内角和定理 第2课时 三角形内角和定理（2） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A B C D 1 2 3 4 在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的真命题,叫做这个基本事实或定理的推论. 推论可以当作定理使用. 推论 三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. A B C D 1 2 3 4 这个结论以后可以直接运用. 推论 例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∠B=∠C (已知), ∴∠DAC=∠C(等量代换). A C D B E ∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠C= ∠EAC(等式性质). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). · · 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实. 还有其他方法吗？ 方法一 应用 A C D B E · · 例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. ∠B=∠C (已知), ∴∠B= ∠EAC(等式性质). ∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行). 这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实. 证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 方法二 应用 A C D B E · 例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. ∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =180° (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行). 这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实. 证明:由证法1可得: · 方法三 应用 例3 已知:如图, ∠BAF, ∠CBD, ∠ACE是△ABC的三个外角。 求证: ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. B A C D F E 1 2 3 证明:∵ ∠BAF是△ABC的一个外角（已知） ∴ ∠BAF=∠2+∠3 (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 同理，∠CBD=∠1+∠3 ， ∠ACE= ∠1+∠2. ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2× 180°= 360°（等量代换） ∵ （ ∠1+∠2 + ∠3）=180°（三角形内角和定理） ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（ ∠1+∠2 + ∠3）（等式的性质） 应用 已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A B C D 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质). ∠A=45°(已知), 随堂练习 三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和 ... ...
