2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题（图片版，无答案）

2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题 本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答思纸上，满分160分 一、填空题（每小题8分，共计96分） 1.设x∈R,集合{x,V2x,x2}={x-4,x2-12x+40,8x},则x= 2.设n为正整数，定义Pn(cosx)=cosnx,则 Po2s(cos5)+2cos185 P024(cos5)+P2023(sin85)= 3.若等差数列{a}满足：a>0,S1.+a4=0,其中S,为数列前7项的和，则使得2Sn≥an的 n的最大值为 4.如图，在平面直角坐标系上有一动点P,每次平行坐标轴移动一个单位。设动点P从 R(0,1)点出发，向左移动一个单位到达(-1，)，向下移动一个单位到达(-1,0)，再向下 移动一个单位到达P(-1,-),接着向右移动一个单位到达(0，-)，再向右移动一个单位 达到P(,-1),又向上移动一个单位到达P,1,0)依次进行得到一个逆时针螺旋线。问乃0 的坐标为 P12 Pu Pto P2 PIy 0 Pa P 16 5. 设非零向量a,b满足x,yeR,3xa+4bl22ax,则a,b夹角的最小值 为 6.已知实数x,y满足2+y=1,任≠)，则ax2x-3,3y-业的最小值为 mi血x-l,2y 7.设xy,z∈R,且5x2+6y2+6z2-8z≤1，则x+y+z的最大值为 8.设P-ABCD为四棱锥，面PAB⊥底面ABCD,且PA=PB=√5，AB=BC=AD=2,则匹 棱锥P-ABCD体积的最大值为 9.动点M从原点出发，每次沿数轴向正方向移动一个单位或两个单位长度、现每次用掷一 枚非均匀硬币的方式决定M如何移动：若掷得正面，M移动两个单位；若掷得反面，则M 移动一个单位。设掷得正面的概率为P,则M恰好移动到2025点的概率为 nl 10.记组合数C-数列a,}满足.@s为c吃25除以3的余数a欧e0,12,k= 0,1,2,…2025,则数列{a}中数字为0,1,2的数目比为. 11,如图，在k×k.的平行四边形中，A,B为一条对角的两个顶点。一个动点从A出发按照 以下规则运动到B点：动点沿着图中箭头方向（往右或往上）移动，每次移动一步（一步或 是图中最小平行四边形的两条邻边之一，或是最小平行四边形对角线)，到达最小四边形的 一个顶点。则动点从A移动到B点有 种不同的移动方法。 12.设AB为集合，满足A=3且AUB=L,2,…,9}.若A中所有元素的乘积等于B中所有 元素的和，则这样的A有 个 二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分】 13.巳知抛物线E:x2=2y(P>0)的焦点为F,P(m,n)(m≠0)是E的动点，过P点作E 的切线L,直钱1与椭圆C:三+片=a>b>0)交于么B两个不同的底，记仍的中底为D 设直线0D(0为原点)与直线y=-必 交于2. (1)证明直线y=-P -与直线P2垂直： (2)若1与F2交于G,且a=2b,证明11≥l2k+12…2lznl 证明：存在实数x∈[-1,1]使得 ... ...