第2章　平面向量及其应用 4.1　平面向量基本定理--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 §4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 A级必备知识基础练 1.[探究点二]如图所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于(　　) A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1) 2.[探究点一](多选)如果{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基,那么下列说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.对平面α中任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 3.[探究点二]在△ABC中,,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,设=a,=b,则用a,b表示为(　　) A.(a-b) B.(b-a) C.(a-b) D.(b-a) 4.[探究点三]如图,在△ABC中,,若=λ+μ,则等于(　　) A. B. C.3 D. 5.[探究点一]已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b}能作为平面内的一组基,则实数λ的取值范围为　　　　　　　. 6.[探究点二] 如图,在平行四边形ABCD中,设=a,=b,试用a,b表示. B级关键能力提升练 7.在△ABC中,∠C=3∠B,∠A=2∠B,AT平分∠CAB交BC于点T,若=λ+μ,则λ2+μ2= (　　) A. B. C. D. 8.已知O是△ABC的重心,动点P满足+2,则点P一定为(　　) A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.AB边的中点 9.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量=　　　　,=　　　　. 10.已知向量a在基{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基{e1+e2,e1-e2}下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　　　,μ=　　　　　. 11.已知在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y=x,其中x,y∈R,且均不为0.若,求. 12.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一组基; (2)在基{a,b}下,分解向量c=3e1-e2. 13.如图所示,△ABC中,F为BC边上一点,2,若=a,=b, (1)用向量a,b表示; (2)3,连接DF并延长,交AC于点E,若=λ,=μ,求λ和μ的值. C级学科素养创新练 14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　　. 15.已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0. §4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 1.A　)=)=(5e1+3e2). 2.AB　A正确;B正确,平面中的任意向量都可以用一组基表示;C错误,向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错误,λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.故选AB. 3.D　由题意得)=)=(b-a),故选D. 4.A　由题意可得,, =, 据此可知λ=,μ=, ∴. 5.(-∞,4)∪(4,+∞)　若{a,b}能作为平面内的一组基,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb,k∈R,得λ≠4. 6.解 (方法一)设AC,BD交于点O(图略),则有a,b. 所以a-b, a+b. (方法二)设=x,=y, 则=y, 又 所以解得x=a-b,y=a+b, 即a-b,a+b. 7.D　在△ABC中,∠C=3∠B,∠A=2∠B,AT平分∠CAB交BC于点T,因为∠C=90°,∠B=30°,∠A=60°,∠CAT=∠BAT=30°,所以2CT=AT=BT,所以CT=CB,)==λ+μ,所以λ=,μ=,所以λ2+μ2=.故选D. 8.B　∵O是△ABC的重心, ∴=0, ∴-+2=, ∴点P是线段OC的中点, 即AB边中线的三等分点(非重心). 9.b+a　a-b　在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC, 所以=b+a, =a+b-b=a-b. 10.　-　由条件可知解得 11.解 由题可得=x-y, 由,可设=λ(λ∈R), 即x-y=λ()=λ-=-+λ,所以. 12.(1)证明 假设a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 所以λ不存在. 故a与b不共线,可以作为一组基. (2)解 设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 ... ...