4．4 数学归纳法 4．4.1 数学归纳法(1) 一、 单项选择题 1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋4＋…＋(4n－1)时，第一步应证明( ) A. f(1)＝1 B. f(1)＝1＋2＋3 C. f(2)＝1＋2 D. f(1)＝1＋2＋3＋4 2 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1是否成立时，左边应该是( ) A. 1 B. 1＋a C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3 3 (2023北京房山区期末)用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n-1(n2＋n)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边需要增加的因式是( ) A. 2k＋1 B. 2(k＋1) C. k(k＋1) D. (k＋1)(k＋1) 4 (2024上海宝山区月考)已知an＝1＋＋＋…＋，则ak＋1－ak共有( ) A. 1项 B. k项 C. 2k项 D. 2k＋1项 二、 多项选择题 5 对于数学归纳法，下列说法中正确的是( ) A. 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立 B. 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明 C. 证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立 D. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项 6 已知f(n)＝＋＋＋…＋，则下列说法中正确的是( ) A. f(n)中共有n2－n项 B. f(n)中共有n2－n＋1项 C. 当n＝2时，f(2)＝＋ D. 当n＝2时，f(2)＝＋＋ 三、 填空题 7 (2023全国课时练习)存在常数a，b，c使得等式1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立，则a＋b＋c＝_____． 8 (2023河南专题练习)已知13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2.若13＋23＋33＋…＋n3＝3 025(n∈N*)，则n＝_____． 四、 解答题 9 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2)(n为正整数). 10 是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 4．4.2 数学归纳法(2) 一、 单项选择题 1 (2023全国课时练习)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A. 假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋3正确 B. 假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋1正确 C. 假设n＝k(k∈N*)时正确，再推证n＝k＋2正确 D. 假设n≤k时正确，再推证n＝k＋2正确 2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是( ) A. 3·7k+1＋6 B. 3·7k＋6 C. 3·7k－3 D. 3·7k+1－3 3 对于不等式1)时，第二步证明中从“k到k＋1”左边增加的项数是( ) A. 2k＋1 B. 2k－1 C. 2k-1 D. 2k 二、 多项选择题 5 (2023全国课时练习)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题中不成立的是( ) A. 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B. 若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C. 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)
