4．4　数学归纳法 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．4　数学归纳法 4.4.1　数学归纳法(1) 1. 了解数学推理的常用方法（归纳法）. 2. 了解数学归纳法的原理，初步掌握用数学归纳法证明数列中的简单命题． 活动一 了解数学归纳法的背景 情境1：很多同学小时候都玩过多米诺骨牌的游戏，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，这样只要推倒第一块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下． 思考1 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 情境2：对于数列{an}，已知a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为an＝1，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须经过严格的证明． 要证明这个猜想，同学们自然就会想到从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立． 思考2 你认为证明数列的通项公式是an＝1这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米骨牌游戏解决这个问题吗？ 思考3 归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？ 活动二　了解数学归纳法的原理　 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1) （归纳奠基）证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2) （归纳递推）以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出当n＝k＋1时命题也成立． 那么，命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 用框图表示为： 活动三　掌握数学归纳法的简单应用———证明一些简单的数学命题　 例1　用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝a1＋(n－1)d对任何n∈N*都成立． 例2　用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＝ (n∈N*). 1. （2024成都阶段练习）用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，都有1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，第一步应该验证的等式是(　　) A. 1－＋－＝＋ B. 1－＋＝＋ C. 1＝＋ D. 1－＝ 2. 已知n∈N*，用数学归纳法证明f(n)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝时，假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，需要用到的f(k＋1)与f(k)之间的关系式是(　　) A. f(k＋1)＝f(k)＋3k－5 B. f(k＋1)＝f(k)＋3k－2 C. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 D. f(k＋1)＝f(k)＋3k＋4 3. （多选）已知一个命题F(k)，k＝2n(n∈N*)，当n＝1，2，…，999时，F(k)成立，并且当n＝999＋1时，它也成立，则下列命题中不正确的是(　　) A. F(k)对于k＝2 002成立 B. F(k)对于每一个自然数k成立 C. F(k)对于每一个偶数k成立 D. F(k)对于某些偶数可能不成立 4. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，从n＝k推证n＝k＋1时，左边增加的代数式是　　　　． 5. （2023全国随堂练习）用数学归纳法证明：＋＋…＋＝1－(n∈N*). 4．4.2　数学归纳法(2) 1. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，能通过“归纳→猜想→证明”的方法处理问题． 2. 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径． 活动一 用数学归纳法证明整除性问题 例1　用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除． 方法一：配凑递推假设； 方法二：计算f(k＋1)－f(k)，避免配凑． 说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件是解题的关键； ②注意从“n＝k到n＝k＋1”时项的变化． 活动二　用数学归纳法证明平面几何问题　 例2　在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，则这n条直线将平面分成多少个部分？ 活动三　 ... ...