6.2.2　空间向量的坐标表示 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．2.2　空间向量的坐标表示(1) 1. 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间坐标刻画点的位置． 2. 能用空间坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标线性运算法则． 3. 会根据向量的坐标形式解决有关平行问题． 活动一 探究空间向量的坐标表示 　　1. 复习巩固 (1) 空间向量基本定理： (2) 平面向量的坐标表示： (3) 空间直角坐标系： ①若空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，通常用{i，j，k}表示； ②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面； ③作空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°； ④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2. 探究空间直角坐标系中的坐标 如图，给定空间直角坐标系和向量a，i，j，k作为基向量，则存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z). 在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间内任意一点P，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，所以向量的坐标为＝(x，y，z)，我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z)，x叫作横坐标，y叫作纵坐标，z叫作竖坐标． 3. 空间向量的坐标运算法则 (1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)， a∥b(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). (2) 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． 活动二 空间直角坐标系中点的坐标及向量的坐标 例1　如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标； (2) 写出向量，，，的坐标． 建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标． 活动三 空间向量的坐标运算及应用 例2　已知a＝(1，－3，8)，b＝(3，10，－4)，求a＋b，a－b，3a. 例3　已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)和D(8，4，9)，O是坐标原点，求证：四边形ABCD是梯形． 1. (2023潍坊期末)在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(2a－a2，b＋1，2c－1)关于z轴的对称点M′的坐标为(－1，2，9)，则a＋b＋c的值为(　　) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2. (2023汕尾期末)已知空间向量a＝(2，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则2a－b等于(　　) A. (4，－2，4) B. (2，－1，2) C. (3，0，3) D. (1，－2，1) 3. (多选)(教材改编)若点A(5，2，4)，B(2，－1，7)，P是AB的三等分点，则点P的坐标为(　　) A. (3，0，6) B. (3，1，6) C. (4，1，5) D. (4，0，5) 4. (教材改编)已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，m)，且ka＋b与a－2b平行，则k＝_____． 5. 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，若 p＝，q＝，求下列各式的坐标： (1) p＋2 ... ...